Con la idea de interpretar el espectro del modelo estándar como una ruptura parcial de supersimetría, pregunté el otro dia en physics forums si realmente había o no supersimetría en mecánica cuántica, y naturalmente a los pocos posts me devolvieron la pelota recordandome todo lo que se había hecho en los años 80 y 90
Lo que me recordó a su vez que yo deje sin hacer el investigar supersimetría en la matriz de scattering de potenciales de soporte en un solo punto. Las interacciones de contacto en mecanica cuantica son un tema muy majo para introduccion a la investigación y por lo tanto entra en la categoria de cosas que se repiten cada diez años. La ultima version que veo es Heriban-Tusek.
El tema de SUSY QM atrajo mucho interes en los 80, como todo lo que construia Witten. En particular un preprint de Luis Joaquin Boya llamaba la atencion sobre la supersimetria entre el potencial delta atractivo y el repulsivo (estamos hablando de mecanica cuantica no relativista en una dimension)
Eso llevo a algunos otros colaboradores de Luis Joaquín a revisar posibles familias de potenciales que se podian conectar via supersimetria, y a Casahorran y a Esteve a interesarse por los casos en los que se pudiera ir más allá de la diferencia en el estado del vacio, explotando el dominio de los operadores, de forma que podian intentar que tan solo la mitad de los autoestados de un potencial fueran transvasables al otro. Yo creo que esta linea la empezo Casahorran con S. Nam en sus colaboraciones en el MIT, usando la idea de emplear estados de energia negativa (para poder tener mas juego en los limites asintoticos y la normalización), y luego la continuó en
CASAHORRÁN, J. (1996). A NEW SUPERSYMMETRIC VERSION OF THE ABRAHAM-MOSES METHOD FOR SYMMETRIC POTENTIALS. Reviews in Mathematical Physics, 8(5), 655–668. doi:10.1142/S0129055X96000226
y una serie de papers hasta llegar a (https://arxiv.org/abs/math-ph/9810022v1) una epoca en la que se extinguia el interes por el tema. Para entonces Nam ya estaba dedicandose a supersimetria en aplicaciones más cercanas a particulas, o a veces a teoria M y sus aplicaciones:
Volviendo a mi parte… Con LJ, Casahorran y Esteve hicieron el preprint 91.36, pero no entraron en la cuestion de las deltas porque lamentablemente eso me lo dejaron para mi tesis. Yo examiné cómo variaba la matriz de scattering ante cambios de escala y por tanto determiné todos los potenciales “de contacto” o “con soporte en un punto” que aparecian como lineas de renormalizacion en el sentido de Wilson-Kogut (lo que nos permitió localizar algun error en la nomenclatura de aquella epoca respecto a los “potenciales delta prima”). Por otro lado participé en la clasificación de familias de potenciales que tenian un significado geométrico. Pero no termine de estudiar la supersimetría los distintos casos con soporte en un punto (sección 4.4 de mi tesis), ni como esto se visualizaría en el espacio de teorías a la hora de ir aplicando transformaciones de escala y renormalización. No recuerdo ni siquiera los detalles de la seccion 4.4, posiblemente en aquel entonces simplemente estabamos intentando extender los resultados previos que Boya publicó con Sudarshan en 1994.
Dado que los potenciales de contacto tambien se clasifican via extensiones autoadjuntas que controlan los problemas de dominio de los operadores, es de esperar que Esteve y Casahorran hubieran pensado que los casos de ruptura de supersimetria que ellos estaban clasificando pudieran extenderse con los que ya estaba estudiando, pero por otro lado era una cosa bastante hipotetica dado que estamos hablando de potenciales donde no tienes un espectro discreto infinito con el que jugar. Asi que supongo que al ver que yo no encontraba nada de interes tampoco tiraron ellos para ese lado, pero tampoco llegaron a mencionarme explicitamente que lo investigaramos. O no me di cuenta. La cuestion de la conexion con extensiones autoadjuntas ha sido un tema recurrente en mi antiguo departamento, por ejemplo esta visita reciente en 2015 donde se sugiere una posible conexión general con ruptura espontanea de simetria. Tambien https://arxiv.org/abs/hep-th/0403048, https://arxiv.org/abs/2005.09931 y en general la tesis y posterior trabajo de Muñoz-Castaneda.
Es tambien curioso que aunque sabiamos de la relacion entre las condiciones de contorno de un segmento y las de un soporte puntal en la linea no hicieramos mas enfasis en las posibles relaciones con condiciones de contorno de una teoria de cuerdas en un limite no relativista, donde no deja de ser una teoria en 1+1.