Vamos a asumir que la \(z_0\) y las \(z_n\) del ansatz de Koide pueden tener valores complejos. Por evitarnos un parametro, tomemos que \(z_0 z_0^*\) es uno. Podemos poner
$$
z_n= \cos(\tau)\sqrt{2}\cos\left(\frac{2\pi n}{3} + \delta\right) + i\sin(\tau)\sqrt{2}\cos\left(\frac{2\pi n}{3} + \mu\right)
$$
de forma que siguen sumando cero y todavia se cumple que la suma de los \(z_n z_n^*\) es \( 3 z_0 z_0^*\). Pero nos hemos comido un montón de fases.
Vamos a ver donde llegamos: primero simplificamos el coseno de las sumas, y añadimos el termino \(z_0\) con una nueva fase r:
$$
v_1 = c_r + \sqrt{2}c_\tau\left(-\frac{1}{2}c_\delta – \frac{\sqrt{3}}{2}s_\delta\right) + i s_r + i\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}c_\mu – \frac{\sqrt{3}}{2}s_\mu\right)s_\tau
$$
$$
v_2 = c_r + \sqrt{2}c_\tau\left(-\frac{1}{2}c_\delta + \frac{\sqrt{3}}{2}s_\delta\right) + i s_r + i\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}c_\mu + \frac{\sqrt{3}}{2}s_\mu\right)s_\tau
$$
$$
v_3 = c_r + \sqrt{2}c_\delta c_\tau + i s_r + i\sqrt{2}c_\mu s_\tau
$$
Y multiplicando por el conjugado obtenemos las masas \( m_n = v_n v_n^*\). Se puede comprobar que todavía es cierto que la suma de las tres masas es exactamente seis, cuando el valor absoluto de \(z_0\) es 1. Esto ocurre via el resultado intermedio
$$
m_{\text{sum}} = 3 + 3 c_\delta^2 c_\tau^2 + 3 c_\tau^2 s_\delta^2 + 3 c_\mu^2 s_\tau^2 + 3 s_\mu^2 s_\tau^2
$$
El rango de posibles valores para las masas se puede deducir examinando
$$
m_3 = 1 + 2 \sqrt{2}c_\delta c_\tau c_r + 2 c_\delta^2 c_\tau^2 + 2 \sqrt{2} c_\mu s_\tau s_r + 2 c_\mu^2 s_\tau^2
$$
$$
m_\text{MAX} = 3 + 2 \sqrt{2} \text{max}(|c_\tau c_r| + |s_\tau s_r|)
$$
También es todavía fácil determinar los casos donde una masa es cero porque deben anularse por separado la parte real y la parte imaginaria. Por ejemplo si queremos que \( m_3 \) sea cero necesitamos imponer por separado:
$$ c_r = – \sqrt{2}c_\delta c_\tau $$ y $$ s_r = -\sqrt{2}c_\mu s_\tau$$
Por lo cual ademas \(1 = 2 (c_\delta^2 c_\tau^2+c_\mu^2 s_\tau^2)\). Podemos aplicar todo ello para las masas 1 y 2, la substitucion nos deja ya con.
$$
v_1 = \sqrt{2}c_\tau\left(-\frac{3}{2}c_\delta – \frac{\sqrt{3}}{2}s_\delta\right) + i\sqrt{2}\left(-\frac{3}{2}c_\mu – \frac{\sqrt{3}}{2}s_\mu\right)s_\tau
$$
$$
v_2 = \sqrt{2}c_\tau\left(-\frac{3}{2}c_\delta + \frac{\sqrt{3}}{2}s_\delta\right) + i\sqrt{2}\left(-\frac{3}{2}c_\mu + \frac{\sqrt{3}}{2}s_\mu\right)s_\tau
$$
$$
v_3 = 0
$$
So
$$m_1= \frac{1}{2} * ( 9 c_\delta^2 c_\tau^2 + 6 \sqrt{3} c_\delta s_\delta c_\tau^2 + 3 s_\delta^2 c_\tau^2 + 9 c_\mu^2 s_\tau^2 + 6 \sqrt{3} c_\mu s_\mu s_\tau^2 + 3 s_\mu^2 s_\tau^2 )$$
$$m_2= \frac{1}{2} * ( 9 c_\delta^2 c_\tau^2 – 6 \sqrt{3} c_\delta s_\delta c_\tau^2 + 3 s_\delta^2 c_\tau^2 + 9 c_\mu^2 s_\tau^2 – 6 \sqrt{3} c_\mu s_\mu s_\tau^2 + 3 s_\mu^2 s_\tau^2 )$$
La suma de las tres masas es
$$m_1+m_2+m_3=3 ( 3 c_\delta^2 c_\tau^2 + s_\delta^2 c_\tau^2 + 3 c_\mu^2 s_\tau^2 + s_\mu^2 s_\tau^2 ) $$ lo que nos indica que los terminos en el parentesis deberian sumar 2… De hecho aplicando la igualdad adicional, vemos que
$$m_1+m_2+m_3=3 ( 1 + c_\delta^2 c_\tau^2 + s_\delta^2 c_\tau^2 + c_\mu^2 s_\tau^2 + s_\mu^2 s_\tau^2 ) = 3 (1 + ( c_\tau^2 + s_\tau^2))= 6$$
Asi que por ese lado todo bien. El problema es que ahora hay mas libertad que en el caso real. Tenemos:
$$m_1=3 * (\sqrt{3} c_\delta s_\delta c_\tau^2 +\sqrt{3} c_\mu s_\mu s_\tau^2 + 1 )$$
$$m_2= 3 * ( -\sqrt{3} c_\delta s_\delta c_\tau^2 -\sqrt{3} c_\mu s_\mu s_\tau^2 + 1 )$$
$$2 (c_\delta^2 c_\tau^2+c_\mu^2 s_\tau^2 )=1$$
O, en terminos de angulos dobles:
$$m_1=3/2 * (\sqrt{3} s_{2\delta} c_\tau^2 +\sqrt{3} s_{2 \mu} s_\tau^2 + 2 )$$
$$m_2= 3/2 * ( -\sqrt{3} s_{2\delta} c_\tau^2 -\sqrt{3} s_{2\mu} s_\tau^2 + 2 )$$
$$c_{2\delta} c_\tau^2+ c_{2\mu} s_\tau^2 =0$$
y ahora podemos estudiar en qué condiciones, en funcion de \(\delta\) y \(\mu\), se garantiza que todos los senos y cosenos cuadrado esten entre cero y uno.
Las zonas excluidas son aquellas en las que la hipotesis de partida, \(m_3 = 0\), es imposible. Por ejemplo si tanto \(\delta\) como \(\mu\) son cero, entonces
$$
v_3 = c_r + \sqrt{2} c_\tau + i s_r + i\sqrt{2} s_\tau
$$
$$
m_3 = 3 + 2 \sqrt 2 ( c_r c_\tau + s_r s_\tau) > 0.17157…
$$
Obsérvese también que según en qué cuadrante estén \(\delta\) y \(\mu\) puede llegarse a obtener una tupla (0, m, m), algo que no podemos lograr con la ecuación de Koide.