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Los mayores ya han pensado en eso.

De rebote y gracias a mi adicción a twitter, veo que se me había pasado por alto la “lección perdida de Feynman“, pese a que se publicó en 1996 y pese a que recientemente el grupo de geometría y mecánica de mi departamento la había revisitado, https://arxiv.org/abs/1605.01204.

Lo interesante de la lección no es tanto -aunque pueda ser parte de una respusta- el uso de la hodografa en el espacio de velocidades sino el hecho de que Feynman se interesara la discretización de caminos que emplea Newton.

https://twitter.com/arivero/status/1753547162363826208/photo/1

Este “Space Diagram” es, en mi opinión, el problema que retrasó años la publicación de los principia: Cómo probar la existencia de la curva clásica cuando necesitas probar que las áreas entre el camino discreto y la curva clásica tienden a cero en el límite continuo, y esas areas son esencialmente proporcionales a la cte de Planck. Pero eso ya lo he contado muchas veces, lo que veo interesante aquí es notar que al propio Feynman le interesó la cuestión… y que no debió de sacar nada en claro, puesto que no le valió para tirar hacia adelante en la cuestión de los fundamentos de la cuántica.

Y quizas por eso la gente no lo mira con tanta atención, porque tienen en el fondo el instinto de que si hubiera algo que rascar, los grandes ya lo habrían hecho.

En cualquier caso, en aquella época se formaria el Lore de que la integral de Feynman es una regularizacion de la delta de Dirac y que la probabilidad en cuántica debe ser compleja para que las soluciones clásicas interfieran entre sí de manera que las contribuciones de caminos con acción (¿o variación de la accion?) mucho mas grande que la cte de Planck se anulen, de forma que en el limite \hbar \to 0 se convierte la regularización en una autentica delta que selecciona el camino clasico. Eso era revolucionario en cuanto a fundamentos de la mecánica, y de la física.

Yo ataqué el problema un par de veces, en el año 98, primero con el grupoide tangente https://arxiv.org/abs/math/9802102 y luego con un intento de analyzar el peso de la integral de camino, https://a.rivero.nom.es/research/9803035.pdf. Por lo que veo ya se habia publicado la lección perdida, pero de alguna forma se nos escapó la relación.

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sBootstrap: SO(32) and recursive anomalies?

Just a short memo.

We have seem that the sBoostrap, which is really a way to produce Chan-Paton labels, drives naturally to SU(15) and then perhaps to SO(30). Which was very encouraging because we know an open string needs to have a SO(32) group asociated to it. Sometimes this group is justifyed as 2^5, with 5 being half of the dimension of space, and it is related to a SO(8192) for bosonic strings.

Our justification to choose the charges, on the other hand, is that they correspond to light quarks. This should be, that there is some way to give mass to the particles in a SO(32) and only the light quarks survive, available to be used as Chan-Paton labels, and then it is Chan-Paton all the way down.

But the real justification for SO(32) is to have an anomaly-free theory. So the question is if our recursivity could be related to anomaly-matching conditions in the way of ‘t Hooft.

There is still the question of why or how some particles get mass, some others travel free. We have not problems with the leptons, they could also be massless but unable to bind into the string due to the lack of colour. Even some coloured objects could we unable to bind if they have not both chiralities available. Well, the point here is that if we consider light quarks plus leptons we are into 84 degrees of freedom and then again in the world of 11D sugra representations.

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El cobertizo de la calle Nola

La calle Nola tiene un estilo similar a la ciudad jardín, pero lleno de huertas que a vista aérea parecen todo patios interiores arbolados, solo que sin casas entre ellas, una limita con la siguiente, separadas por cuadrículas de muros. Desemboca -porque siendo onírica, no se sabe como se entra- en la acera derecha de la calle Doctor Cerrada a través de un pórtico peatonal, que la disimula y hace que los paseantes casuales no la identifiquen como calle. En el pórtico un cartel anuncia los días de riego.

En cierto modo el abigarramiento de las huertas recuerda a los oasis de datileros de Al Ain, pero más organizado por la cuadrícula del parcelamiento. E indicaría también la presencia cercana de una fuente de agua, un riachuelo o acequia.

La ausencia de calles intermedias o callejones es similar a la de otras arquitecturas soñadas, donde muchas veces el cruce de una calle a otra exige subir al tejado de un edificio y atajar por alguna pasarela que lleva al siguiente. Esto no era raro en la calle Heroísmo de mi juventud, donde la chavalería conocía esos atajos para descender a casa de algún familiar.

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At periapsis, we burn.

It is not rocket science… until it is. Se me estaba haciendo difícil entender el efecto o maniobra Oberth, porque siempre pienso que las maniobras asistidas incluyen intercambio de momento, y precisamente la pagina de la wikipedia arranca con un aviso “not to be confused with gravity assist”.

Sin intercambio de momento, la variación de velocidad de cohete y propelente depende solo de la energía química aportada y de las masas de cada parte. Así que de primeras parece que la velocidad a la este yendo el cohete en el momento del burning no tiene ningun merito, porque el incremento de velocidad es el mismo vayas lento o rápido. Pero la gracia esta en que la velocidad a fin de cuentas no solo se suma a la velocidad inicial sino que la energia cinetica es un cuadrado, y por tanto nos llevamos de regalo el termino $latex v_0 \delta v_M$, en la energía del cohete, contrarrestado por un $v_0 \delta v_m$ de signo opuesto, en la del propelente. Los dos terminos se compensan entre si precisamente si no hay aportación de momento extra.

Si no estuviéramos en un pozo de potencial, esto seria solo un chiste de invariancia relativista -de Galileo-, porque la velocidad inicial la podemos ajustar cambiando el sistema de referencia, y lo que cuenta entonces es el incremento de velocidad. Pero al estar en un potencial, la energía que ganemos se notara a la salida. Esto es, al caer hemos obtenido un plus de energia a costa del potencial, y al salir pagamos exactamente ese mismo coste, pero gracias a haber quemado a alta velocidad la energia quimica se ha transferido en mayor parte al cohete que al fragmento de propelente, y a la salida tras devolver el potencial ganado todavia nos queda velocidad extra que no tendriamos si hubieramos quemado directamente fuera del pozo. Ese es el efecto Oberth.

La confusión viene de que si añadimos una transferencia de momento $L$ desde el planeta, eso va a la ecuación de balance de energias y aporta un termino $v_0 L$ para el cálculo de los incrementos de velocidad. Y eso, aunque tambien es una dependencia en $v_0$, sería parte de la asistencia de gravedad. Pero aquí el calculo ademas se complica porque hay que determinar de alguna forma las contribuciones tanto de momento como de energia que el planeta podría sumar o restar.

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Tangents

A couple weeks ago, the account @iwontoffendyou twitted the following problem.

It was presented as a “round 1” exercise for employee interviews. So the logical path is first to try to answer either analytical or numerically, and only after a good enough answer is produced one can step back and look are more fun details.

Two observations are then evident:

That keeping the r=1 “perimetral” circle and the line fixed, the locus for the circles tangent both to line and perimetral is a parabola with focus in the origin and directrix x=1.

That the radius has been chosen such that it is the onset of multiple solutions for tangents. The circle with center in the horizontal axis is also solution, and for r > 1 it divides in two inner solutions, touching either the positive or the negative branches of the parabola.

Surely this particular choosing was done in order to simplify the algebraic approach, but it could be hoped that it also simplifies a constructive approach even if of “solid” type. Note that any intersection with a quadric already forbids the generalisation of a “plane” construction, even if it exists for particular values.

As a practice, I have collected a book of constructions in geogebra here.

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