Koide y la cubica de Viète

Mirando un video de youtube, y luego la wikipedia, me he enterado de que una forma tradicional de resolver la ecuacion cubica es ponerla en forma trigonometrica, de la misma manera que solemos escribir las soluciones de la formula de Koide.

¿que ocurre por tanto si dada una ecuacion de tercer grado cualquiera, calculamos

\(x_1^2+x_2^2+x_3^2 \over (x_1+x_2+x_3) ^2 \) ?

si las soluciones tienen la forma

\( x_k = a ( 1 + r \cos (\delta + 2 \pi k / 3))\)

entonces

\({x_1^2+x_2^2+x_3^2 \over (x_1+x_2+x_3)^2} = \frac{1}{3}+\frac{r^2}{6} \)

tomemos ahora una equacion general de tercer grado

\( a x^3 + b x^2 + c x + d = 0 \)

y resolvamos segun el metodo de Vietè

\(x_k = t_k – {b \over 3a} = 2\,\sqrt{-\frac{p}{3}}\,\cos\left[\,\frac{1}{3} \arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\,\right) – \frac{2\pi k}{3}\,\right] – {b \over 3a} \)

con \(p=(3ac – b^2) / (3a^2)\), de manera que

\(x_k = -{b\over 3 a} ( 1 – 2 \sqrt { b^2 – 3ac \over b^2} \cos )\)

y por tanto

\({x_1^2+x_2^2+x_3^2 \over (x_1+x_2+x_3)^2} = \frac{1}{3}+ \frac{2}{3} ( 1 – {3 a c \over b^2}) \)

y es por ello por lo que un comentador anonimo intento añadir hace unos meses en la wikipedia que la formula de Koide correspondia al caso particular \(b^2 = 6 a c\)

Una consecuencia: si construimos la ecuacion de masas mediante el truco de añadir el signo opuesto para convertir la cubica en una sextica, esto es:

\( (a x^3 + b x^2 + c x + d)( a x^3 – b x^2 + c x – d) = 0\) \(a^2 x^6 + (2 a c – b^2) x^4 + (c^2 – 2 b d )x^2 – d^2 = 0 \)

y poniendo x^2 = m, entonces tenemos que la “formula de Koide” para las masas seria

\({m_1^2+m_2^2+m_3^2 \over (m_1+m_2+m_3)^2} = \frac{1}{3}+ \frac{2}{3} ( 1 – {3 a^2 (c^2 – 2 bd) \over (2 a c – b^2)^2}) \)

si ademas se cumple \(b^2 = 6 a c\), podemos simplificar un poco:

\({m_1^2+m_2^2+m_3^2 \over (m_1+m_2+m_3)^2} = {7 \over 8} + { b d \over 4 c^2 } \)

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