Primero un par de avisos de interes general:
- Es facil encontrar online apuntes sobre modelado de epidemia, asi a ojo googleando he encontrado este, que parece majo. https://web.stanford.edu/~jhj1/teachingdocs/Jones-Epidemics050308.pdfhttps://web.stanford.edu/~jhj1/teachingdocs/Jones-on-R0.pdf
- Ha preparado Francis una practica muy interesante con un modelo extenso, tipo SEIRV, https://francis.naukas.com/2020/03/14/el-modelo-seirv-aplicado-a-la-epidemia-de-coronavirus-en-wuhan-china/
Mirando esos apuntes y modelos se ve que los modelos compartimentales tienen muchas posibilidades, especialmente cuando comienzas a permitir que una valvula tenga dependencia funcional arbitraria, y no simplemente productos.
Pero bueno, ya que estaba con la idea no compartimental de ayer, voy a dejar aun anotadas dos o tres cosas que se me quedaron en el cuaderno.
La idea de poner un tiempo de incubacion gaussiano o con concentracion de delta de dirac no parece contraria a la intuicion, pero hacer eso con el tiempo de resolucion/removal no parece tan logico, habria que ir poniendo otras distribuciones d(t), Weibulls, cosas asi. Ahora, a falta de otro criterio conviene que podamos hacer analiticamente la integral, asi que vamos a hacer algo que suena cutre pero no deja de ser parecido a lo de los compartimentos: asumir que la probabilidad de detectar al infectado funciona con una distribucion exponencial. Me direis que para ese viaje no hacian falta alforjas, pero es bastante curioso porque eso nos lleva a
$$
(1 – \int_0^\infty d(t) e^{-rt} dt) = 1 – \int_0^\infty d(t) e^{-rt} dt = { r \over \lambda +r}
$$
con \(\lambda = 1/\tau_d\), y este seria el tiempo medio de deteccion, asi que $$R0 = k \tau_d$$.
La ecuacion de ayer para relacionar k con el exponente de crecimiento inicial se simplifica casi por sorpresa:
$$ k { r \over \lambda +r} = r e^{r t_l} $$
y ahora la solucion grafica es encajar dos una hiperbola \({ k \over \lambda +r}\) con la exponencial pura \(e^{r t_l}\) que condensa el tiempo de latencia. Este segundo termino vale siempre 1 en el origen, asi que la condicion de existencia de solucion es que la hiperbola debe ser mayor que uno en el origen, usease
$$ {k \over \lambda} > 1$$
¡que vuelve a ser la condición basica de la teoria epidemiologica: R0 > 1! Al menos esto parece que nos da bien.
Si no tuvieramos tiempo de incubacion la solucion de hecho seria bastante trivial:
$$r = k – {1 \over \tau_d}$$
Indicando que el exponente que vemos en las gráficas que salen por internet hay que esperar que tenga al menos dos contribuciones: la de la velocidad de contagio y la del tiempo de detección. Y por eso es por lo que tenemos siempre el debate sobre si queremos meterle presión a bajar una cosa o la otra.
Otro apunte. Si lo que queremos es precisamente ver la sensibilidad de r a cada uno de estos parametros puede que haya casos en los que en vez de resolver explicitamente (usando más aproximaciones) nos podamos apañar con los teoremas de derivadas parciales de funciones implicitas, usease consideramos
$$
0 = F(r(k,\lambda),k,\lambda) = {k \over \lambda +r} e^{rt_l}
$$
y aplicamos las reglas de encadenado aquellas de segundo de carrera
$$
{\partial r \over \partial k} = – {{\partial F \over \partial k} \over {\partial F \over \partial r} }
$$
etcetera… si conseguimos recordarlas y asegurarnos de que se cumplen las condiciones 😀