Mi hot take de la expansion exponencial del coronavirus

Voy a poner por aqui mi variante de SIR con tiempos de incubacion y tiempos de deteccion (respuesta, resolucion) hasta que encuentre algun modelo oficial que citar.

Para tener expansion exponencial, la masa susceptible es infinita, asi que en realidad lo que nos interesa es modelar Expuestos — > Infecciosos — > Resueltos. Si fuera un modelo compartimental seria un caso extremo de SEIR, como me apuntaba Francis en twitter.

Si en vez de usar grifos, o como se llamen las valvulas entre compartimentos, modelamos el salto E–>I con una funcion de latencia \(l(t)\) y el salto I–>R con una funcion de deteccion \(d(t)\), creo que el incremento de infectados seria algo asi como:

$$
\delta I_+(t)=\int_0^\infty l(t’) k I(t-t’) dt’
$$

Donde el contagio propiamente va con una velocidad k tal que
$$
\delta E = k I
$$

Con lo que tengo mas dudas es con la deteccion, porque hay que recordar de alguna manera en que momento entro cada paciente en la caja de infectados. A vuelapluma se me ocurre que seria algo asi:

$$
\delta I_-(t) = \int_0^\infty \int_0^\infty d(t”) l(t’) k I(t-(t’+t”)) dt’ dt”
$$

El total de casos, C(t), seria la suma de tan solo la parte positiva de la aportacion, mientras que la equacion diferencial para los infectados seria la union de los dos aportes

$$
I'(t) = \delta I_+(t) – \delta I_-(t)
$$

Si asumimos que la solucion es exponencial, \(I(t) = I_0 e^{r t}\), entonces la “convolucion” del termino de resolucion es separable:
$$
\delta I_-(t) = \int_0^\infty \int_0^\infty d(t”) l(t’) k I_0 e^{rt} e^{-rt’} e^{-rt”} dt’ dt”
$$
y se simplifica todo bastante
$$
I_0 r e^{r t} = \int_0^\infty l(t’) k I_0 e^{rt} e^{-rt’} dt’- \int_0^\infty \int_0^\infty d(t”) l(t’) k I_0 e^{rt} e^{-rt’} e^{-rt”} dt’ dt”
$$

$$
r = \int_0^\infty l(t’) k e^{-rt’} dt’- \int_0^\infty \int_0^\infty d(t”) l(t’) k e^{-rt’} e^{-rt”} dt’ dt”
$$

$$
r = k \big( \int_0^\infty l(t’) e^{-rt’} dt’ \big) \big(1 – \int_0^\infty d(t”) e^{-rt”} dt”\big)
$$

Por otro lado el dato medido en prensa son los casos totales, vendria a ser

$$
C(t) = {k\over r} I_0 \big( \int_0^\infty l(t’) e^{-rt’} dt’ \big) e^{rt}
$$

Si vamos al caso particular mas sencillo en el que las funciones l(t) y d(t) se concentran simplemente en unos puntos t_l y t_d, las integrales se resuelven con la delta de Dirac y nos queda

$$
r = k e^{-rt_l} \big(1 – e^{-rt_d}\big)
$$

$$
C(t) = {k\over r} I_0 e^{-rt_l} e^{rt} = {k\over r} I_0 e^{r (t-t_l)}
$$

lo que parece razonable teoricamente, porque al menos se cumple la condicion universal de que para que haya solucion tiene que ocurrir que el termino R0 sea mayor que uno. Explicitamente, si queremos resolver para encontrar \(r\) ponemos la ecuacion separada en dos terminos
$$
k (1 – e^{-r t_d}) = r e^{r t_l}
$$
tenemos dos funciones sin puntos de inflexion y distinta concavidad, asi que para que se crucen necesitamos que la derivada en en el origen del termino izquierdo sea mayor que la del termino derecho. La de este ultimo es siempre uno, independientemente del tiempo de latencia de la enfermedad, mientras que la del termino izquierdo es \(k t_d\), asi que existe solucion exponencial solo cuando se cumple que
$$
k t_d > 1
$$
Y esto no es otro que el parametro R0: la velocidad de contagio multiplicado por el tiempo que se tarda hasta que se detecta y resuelve.

En el caso real conocemos \(r \approx 0.33\) pero no tenemos ni idea de los otros tres parametros, k, t_l y t_d.

NOTA:
Si asumimos que R0 siempre crece con el tiempo de deteccion, da la impresion de que en este modelo, y posiblemente de modo mas general, dado un valor para el tiempo de latencia podemos dar una cota inferior para R0, que sería \(e^{r t_l}\). Pero para r=0.34 el resultado no es muy consistente, una latencia de cinco dias corresponderia ya a una cota R0 > 5.47; para obtener R0 razonable entre uno y 2.5 habria que asumir latencias de uno a tres dias.

O dandole la vuelta con cuidado, tambien podriamos decir que usamos la solucion para dar una cota superior de r, dado R0 y el tiempo de latencia.

$$
{\ln R0 \over t_l} > r
$$