Gompertz y Kermack-McKendrick

La epidemiologia de salón durante la pandemia se ha dividido en dos bandos: los que gustaban de modelar los casos diarios usando un modelo basado en dinamica de compartimentos SIR, SEIR, etc y los que preferian las funciones genericas de evolucion temporal como la ecuacion Logistica o la de Gompertz.

Desde el punto de vista de resolucion de ecuaciones diferenciales, el modelo de dos compartimentos S-I y la evolucion por funcion logistica son la misma cosa. La funcion que nos da el numero total de infectados sigue la ecuacion \(y’ = \beta y (N-y)\), donde los ceros del lado derecho nos indican entre que valores se mueve la funcion: desde un inicial de cero infectados hasta el total de la poblacion.

La funcion de Gompertz retoca el termino “de finalizacion” de la evolucion temporal, $N-y$, suavizando su llegada a cero con un comportamiento logaritmico

$$ y’ = -b y \log \frac y k$$

usando el “final size” $k$ que puede o no coincidir con el total de poblacion $N$.

El modelo SIR de Kermack-McKendrick, en su version mas simple, no se suele presentar con el “compartimento” de infectados totales (que viene a ser I+R), pero si lo usamos vemos que la sustitucion es en el factor que Gompertz deja quieto: se añade un comportamiento logaritmico al primer factor,

$$y’ = (\beta y + \alpha \log (1-\frac y N)) (N-y)$$

lo que crea un nuevo cero $k$ entre el trivial y el total; la solucion de la “final size relation”

$$ – \frac \alpha \beta \log (1-\frac k N) = k $$

de manera que ahora el tamaño de la epidemia evoluciona desde cero hasta $k$, asumiendo por supuesto que la solucion de esta ecuacion es real y menor que el total de poblacion $N$.

En resumen: tanto Gompertz como SIR introducen un término logarítmico en el cero de finalización, pero lo hacen de diferente manera. He preguntado en Math.SE si existe alguna forma conocida de transformar uno en otro, pero no creo que me den ninguna respuesta. Tanto en los ceros como en el maximo las dos expresiones se comportan de manera muy distinta.

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