Incidencias

Lógica Revolucionaria

Considerad el sistema de proposiciones formados por las frases del tipo “este angulo esta entre XXX e YYY grados, no inclusive”, más sus uniones e intersecciones finitas. Quizas este es el ejemplo mas trivial de una lógica donde la negación de la negación es el original pero la union de de una proposicion y su opuesta no es el total.

Este “no inclusive” se traduce la topologia habitual de la circunferencia como “conjunto abierto”. Si dijeramos “inclusive”, serian “conjuntos cerrados”. En general la interseccion y union finita de abiertos es abierta, y lo mismo con los cerrados; asi que lo que estamos haciendo es escoger una logica donde no nos creemos que podemos apuntar exactamente a una barrera, y nos tenemos que limitar a considerar interiores, trazos entre limites.

No es todavia un ejemplo de “tertium datur”, pero sí que es una muestra de que no puede uno tragarse alegremente que “tertium non datur”. Porque si ponemos que A sea “estar entre 0 y 90 grados”, y entonces la union de A con NO A es la union de “estar entre 0 y 90 grados” con “estar entre 90 y 360 grados”, entonces, como hemos dicho que los extremos no estaban en estos trazos, vemos que no tenemos la circunferencia completa, el trazo que incluye todas las posibilidades.

Vamos, que el axioma formal de “A o NO A = Total” es falso. Pero si lo leemos literalmente, “tertium non datur”, como que no hay un tercer caso, es todavia valido, dado que el conjunto compuesto por los puntos 90 y 360 no es un abierto, y no esta por tanto en nuestro espacio logico. No obstante este “tertium” esta ahi, y vemos que en cierto modo puede aparecer segun y como consideremos que funciona la negación: si hubieramos admitido intersecciones infinitas, recuperamos el sistema habitual de conjuntos, pero entonces tenemos aun la posibilidad de definir varios tipos de negacion. Tenemos “el complemento”, que es la logica habitual, y tenemos tambien “el abierto mas grande contenido en el complemento”, que seria lo que queda, en el sistema “completado” de todos los conjuntos con frontera incluida o no, de esta negación que hemos encontrado en el ejemplo “de solo abiertos”. En el sistema completado, pero usando la negacion de los abiertos, tan solo se cumpliria que la negacion de la negacion esta contenida en el original. Dicho en terminos formales, que “(NO (NO A)) ==> A”, pero no al reves.

Ah, esto de que lo primero de lo que nos hemos preocupamos es de las “uniones e intersecciones” es la receta habitual: primero se plantea uno una “lattice”, un sistema donde podemos construir las operaciones “AND”, “OR” y que sean mutuamente distributivas: que “X AND (Y OR Z)” sea igual a “(X AND Y) OR (X AND Z)”, y que “X OR (Y AND Z)” sea igual a “(X OR Y) AND (X OR Z)”. A estas piezas les añadimos un total T y un nulo F que funcionen como elementos neutros del AND y del OR. En todo esto no hemos dicho nada de la negacion, y por eso tenemos cierta libertad para definirla, siguiendo las pistas anteriores. Asi, se construyen por elemplo “orthonormal lattices”, que se parecen a la logica clasica, o “orthomodular lattices”, cuya negacion se parece a la de la mecanica cuantica, u otras alternativas. Sospecho que seria posible partir tambien de la construccion de la negacion y luego ver que pasa con disyunción y conjunción.

La moraleja es que la logica clasica es solo una de muchas, y que para colarla suele ser necesario tragarse implicitamente alguna creencia sobre operaciones infinitas, o limitar el sistema a un numero finito de sentencias que puedan ser la totalidad, o trucos asi… algo que desde luego no es cierto en la lengua que se habla a diario.

La cultura de la transición de fase.

Ayer estuve en una presentacion, en el sotano de una libreria local, de algunos resultados del grupo 15mdata. Vienen a ser nuestra competencia, algo asi como ATLAS y CMS en el LHC. Hablamos un poco acerca del concepto de transición de fase, que nosotros empleabamos en algunas de nuestras exposiciones y que ellos tambien han presentido, tanto sobre el terreno politico (un antes y un despues del 15m) como en las medidas estadisticas.

Por supuesto, una transicion de fase es estrictamente algo bien definido, cuando se pasa por ejemplo de gas a liquido, que cambian las formas de enlazar de los atomos, los grados de cohesion del sistema, un monton de cosas. Hay ademas un tipo especial de transiciones en las que la longitud de correlacion en el sistema se hace infinita, que son las que estabamos buscando en el post anterior para intentar acelerar la formacion de consensos. La duda es si se da, en fenomenos como el 15m, esta CTF en un sentido precisamente de mecanica estadistica, ademas de darse por supuesto en el feeling y ambiente politico (como lo llamaba un colega, la “individuacion de un sujeto nuevo”).

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Física y matemáticas en Agustín Garcia-Calvo

Cuando Agustín entraba a tocar temas de física Priscilla, una de las cientificas del grupo de optica cuantica del CSIC, terminaba la tertulía medio enfadada, “no es así, no es así”.  De poco valía que anunciara que iba a basarse en Lucrecío y no en la ortodoxia actual, porque es cierto que bastantes veces se salía, se desbordaba más bien, de ese curso. Pero la seguridad de mi amiga era más bien la necesaria de un investigador práctico, que simplemente pasa de puntillas por los puntos escabrosos.

Los historiadores de la ciencia, que la miran desde la atalaya moderna, entienden la física antigua mucho peor que Agustín, que puede mirarla desde la trinchera de Parmenides. A veces un historiador moderno llega a vislumbrar esa receta de que Meliso, creyendo apoyar a Parmenides, le dio material a Democrito, pero simplemente el enunciarla retuerce las neuronas de cualquiera.  En cambio Garcia-Calvo, desde su punto de vista privilegiado, puede ver y explicar mucho mejor las propuestas de los atomistas.

(EDIT: tened presente que Democrito es el que casa ser y no ser:  “en nada es más lo que es [lo que sea] que lo que no sea”.)

Así, percibe la importancía no solo de la paradoja de la flecha, sino de su versión estatica, la cuestión del cono y el cilindro. Ni siquiera con la enorme pista que da Arquimedes –¡y nada menos que en el Método!– esos historiadores le dan atención a ello. Pero otra cosa debieron pensar Cavalieri y Galileo cuando, discurriendo entre ellos sobre los métodos para sumar areas y volumenes, Galileo propuso a Cavalieri que estos metodos basados en la suma de infinitesimos deberian llamarse “métodos de indivisibles”. Y cuando las dos paradojas se juntan, el propio Newton se asusta y corrige y reescribe varias veces sus argumentos sobre las areas barridas durante una orbita.

Tambien gusta subrayar, por cierto, el hecho de que la palabra “atomo” traducida al latin haya pasado a significar la unidad minima de la sociedad, “individuo”. En algún libro Agustin sugiere que seria un buen tema de investigación de tesina el averiguar si esto fue cosa de Ciceron mismo o de algun otro escritor politico romano. No se si se ha llegado a escribir dicha tesina.

En las cuestiones del origen de la aritmetica, rondando a Pitagoras, le ayuda su faceta de poeta y su visión del ritmo, una forma clara de aproximarse a las divisiones del segmento (y hasta si hubiera querido a la criba de Eratostenes y al producto en Zeta de Euler). Desde este punto de vista de la división es como se entienden la duda sobre si 1 es un número, o el argumento de que en algunas definiciones el primer numero impar es el 3, que poseyendo divisiones, todas son en partes desiguales.

Un poco más liada estuvo esta duda, y otras, cuando saltó, en su libro “De Los Numeros”, de la aritmetica primitiva a estudiar las formulas algebraicas , igualdades y sentencias típica de la notación matemática moderna. Aquí la lectura se hace dificil si no se tienen fundamentos de lingüista, y a mi muchas de las discusiones en ese libro me parecen mas bien sobre el problema de la producción de un lenguaje que sobre la cuestión de las operaciones algebraicas.

Sospecho que en esto de la producción, en la expresion lineal de una frase, es en donde difiere Agustín de la linguistica a la Chomsky, porque mientras en la instancia organizativa no tiene ningun problema en utilizar un arbol (dibujado normalmente como conjuntos de Venn) de relaciones binarias, en la producción no se lo imagina uno admitiendo y explicando Merges y demás.   Avisados queden pues los estudiantes de gramatica que hayan de venir de que no les engañe el título de ese libro, y lo incluyan en sus lecturas junto al resto de tomos que Garcia-Calvo ha escrito sobre teoria linguistica. Los matemáticos en ciernes pueden sacar del libro un sentimiento de que algo más, algo no descrito, tiene que haber por debajo de sus expresiones, y que hay que andarse con cuidado a la hora de agarrar un signo igual o una variable. Que no es poca ganancia darse cuenta de ello, aunque creo yo que cualquier matemático de verdad, por su mera práctica. sí que esta prevenido sobre estas cosas, y el problema esta más bien en la matemática como se transmite a otros ámbitos.

Por último, si estais interesados en las -no sé si famosas- visitas de Agustin al ArXiV, el libro que teneis que mirar es “¿Que és lo que pasa?”, aunque solo sea para contrarrestar la impresión que he podido dar de no que con tanto Lucrecio y presocraticos pudiera no estar “al tanto” de las ideas modernas de la física.  El libro en sí se lee independientemente de “Contra el Tiempo”, pero aunque lo extiende, no lo sustituye. Y el apendice tiene una tanda de notas sobre preprints de todo pelaje, que seguramente sorprendera al que sólo visita su sección y no se ha paseado por todo arxiv.org.

consenso y temperatura

Un sistema con 128 nodos conectados en cuadricula, cada uno de ellos tiene 14 versos de Lope que esta dispuesto a intercambiar con sus vecinos a la busqueda de consenso.

No os preocupeis si no se entiende nada, en realidad estoy tomando la nota mental aqui en el blog para que los buscadores no me lo puntuen como irremediablemente abandonado.

Al grano. Tenemos una variable, beta, que mide la cantidad de veces que estas dispuesto a aceptar un verso de un vecino a pesar de que ello te aumenta la discrepancia con los otros tres: a mayor beta, menor disponibilidad. En un sistema fisico esta variable es la inversa de la temperatura. De aqui viene  el titulo del post. La temperatura alta viene a ser la disponibilidad para admitir fluctuaciones altas, lo que solo ocurre con beta baja.

Sumamos la cantidad de disenso contando las modificaciones que habria que hacer en una coleccion de versos para producir la otra. Vamos, distancia de Levenshtein mas permutaciones. A esto se le puede llamar la energia del sistema, la cantidad que queremos acercar a cero tanto como sea posible.

Uno se da cuenta de que una beta muy baja es un desastre, porque todos vamos a ir admitiendo lo de todos sin compararlo y simplemente vamos a estar dandole vueltas y vueltas a las configuraciones. Asi que hay que elevar la beta: y en efecto a una beta muy alta, muy inflexible,  cada nodo insiste siempre en admitir tan solo cambios que mejoren su coincidencia con los vecinos, la suma total de discrepancias comienza a bajar a cero a una velocidad apreciable… y luego nada, se queda colgado intentando variaciones de lo mismo. Chasco.

Lo curioso es que la velocidad de descenso no cambia suavemente con beta: a medida que la incrementamos desde un valor bajo, no se nota nada, hasta que de repente con una (in)flexibilidad critica empieza a acelerarse. Es en ese momento cuando el sistema visita mas posibilidades y por tanto se encuentra de tanto en cuando hasta con situaciones de consenso total… aunque al ser todavia la temperatura distinta de cero, de repente admite una fluctuacion, permite un poema que intercambia dos lineas de posición, y se vuelve a salir de ese minimo.  Pero si seguimos aumentando beta y nos mostramos mas inflexibles para evitar fluctuaciones, no encontraremos el consenso y nos quedaremos atascados a medio camino.

Con un poco de paciencia, todo esto se ve en la siguiente grafica:

la vertical indica la energia total, la horizontal el numero de iteraciones del sistema, y las lineas estan a diferente valor de beta. Las de beta bajo son las que permanecen practicamente horizontales: la temperatura, el ruido si quereis, evita cualquier sincronia. A mayor beta vemos esas lineas que fluctuan cada vez mas rapidamente hacia los valores bajos de energia, visitando ocasionalmente los minimos absolutos. Pero a todavia mayor beta, aparece la linea roja gruesa, y luego la verde y la azul (ahí creo que me he liado en la notación) : son estos los casos en los que más rapido parece que nos estamos poniendo de acuerdo, gracias a la inflexibilidad de no admitir una propuesta si no mejora la coincidencia con los vecinos… pero cuanto mas insistemos en esa inflexibilidad, mas nos alejamos de visitar los mejores casos de consenso global.

Veamos esto con mas detalle en una segunda gráfica, solo con betas por encima del valor de transición.

Los mejores casos son para beta todavía baja. Cuando se aumenta la inflexibilidad, la gran velocidad inicial se ve frustrada cada vez en mayor medida. Todavia es posible encontrar situaciones de consenso a base de echarle paciencia e iterar, y esperar que alguna solución se abrá paso de unos vecinos a otros; de hecho vemos que valores no demasiado altos de beta pueden incluso llegar a encontrar tambien una solucion optima aun despues de haber estado un buen rato atascados en las intermedias.

Por supuesto en el mundo real, y en el de las redes, el truco esta en que no solo juegas con cuatro vecinos y hay nodos que transmiten informacion a largas distancias. Pero aun con contactos locales, uno puede encontrar situaciones de “gran longitud de correlación”,  jugando cerca de la llamada Temperatura de Curie.

El siguiente estudio seria añadir el “campo externo”, si se puede llamar asi a las opiniones particulares del controlador de cada nodo, y ver que soluciones se alcanzan entonces.

El examen sorpresa y la retroinducción.

Vays por delante que Ken Binmore es un desastre para hacer libros abreviados (Teoria de Juegos, una Breve Introduccion, trad. en AE), se pega la mitad del tiempo disculpandose y la otra mitad justificandose: que si el poker, que si cuando era niño… Pero me ha llamado la atención especialmente que en su defensa de la retroinducción se olvida de mencionar una de las objecciones más divulgadas, la del examen sorpresa.

El profesor anuncia: la semana que viene habra un examen sorpresa. Los alumnos razonan que no puede ser el viernes, por tanto solo puede ser de lunes a jueves, por tanto no puede ser el jueves, etc… luego no puede haber examen sorpresa. Y claro, cuando lo pone, les pilla desprevenidos.

Cierto que el examen sorpresa de un movimiento es sólo una paradoja logica: “Mañana habrá un examen sorpresa”, es simplemente Epimenides haciendo de las suyas: Sí descartamos la frase por falsa, el examen nos pilla por sorpresa y es -a posteriori- verdadera. Si la tenemos en cuenta, es -a priori- falsa. Puede que por esto Binmore no la considere como candidato a retroinducción, pero  más bien me temo que es porque su formulación iterada hace demasiado evidentes los riesgos de falacia de esta tecnica y en su obsesion por defender la teoria prefiere barrer hacia debajo de la alfombra.

Por otro lado, la retroinducción nos muestra a las claras los peligros del infinito. ¿Como puede ser que la solucion, del prisionero iterado un numero finito pero grande de veces sea esencialmente distinta de la solución -la estrategia optima- con un numero indefinido de veces?  ¿como puede ser que el limite de masa infinitesimal de una teoria de campos no sea igual al caso con masa cero?