theory of everything

Pati-Salam y 8 dimensiones extra

Aunque habia etiquetado como “wiki” la entrada sobre Kaluza-Klein y en teoria tendria simplemente que ampliarla, puede que sea mejor contarlo desde otra perspectiva. Y vamos, asi pongo una nueva entrada en el blog.

Si habeis pensado ya un rato sobre Kaluza Klein, puede que hayais caido ya en que las dimensiones extra no son las del grupo de Lie. Los ejemplos de U(1) y de \(U(1)^n\), que es el toro n-dimensional, son engañosos. En cuando uno se plantea que las isometrias de la n-esfera son las del grupo SO(n+1), se ve que la cosa no encaja y que en realidad el espacio que hace falta suele ser bastante más pequeño, en dimensiones, que el grupo que queremos obtener.

En particular, el su(2) x su(2) del L-R Pati-Salam es de los obvios, porque sabemos que su algebra es equivalente a la de so(4), y por tanto la teoria de Kaluza Klein correspondiente va a ser solo la de la esfera S3.

Y en cuando al grupo SU(4) de lepton+color, pues resulta que tambien hay una equivalencia de algebras, es igual a la de so(6), y por tanto basta con la esfera S5

Conclusion: Para conseguir un espacio con isometrias “Pati-Salam” SU(4)xSU(2)xSU(2), nos basta con 8 dimensiones extra: S5xS3.

Naturalmente, para el grupo GUT SO(10) necesitariamos 9 dimensiones extra: las de S9. Y para el grupo SU(5) podriamos aplicar una regla general con los grupos de isometrias de CPn: para CP2, sus isometrias son SU(3); para CP4, sus isometrias son SU(5).

Por cierto, fijaos que si en vez de lepton-color empleamos \(U(1)_{B-L} \times SU(3)\) no cambiaria la cosa de dimensiones, seria S1xCP2 en vez de S5.

Asi que ya tenemos un grupo GUT en 9 dimensiones extra, y dos de los otros en tan solo 8. ¿Tenemos algo interesante en 7? Pues pocas cosas, si a la clasificacion de metricas de Einstein en variedades 7-dimensionales compactas nos atenemos, pero entre ellas una que seguramente Witten encontró pensando en estos ejemplos: el cociente de la de Pati-Salam, S5xS3, por una accion de U(1) que produzca una variedad de 7 dimensiones, va a tener siempre al menos las simetrias del modelo estandar, SU(3)xSU(2)xU(1).

Por otro lado, la maxima supergravedad no puede tener mas de siete dimensiones extra; ni ocho ni nueve. Y de otra parte, para conseguir las cargas y quiralidades del modelo estandar sabemos que siete no chuta y necesitamos al menos construir fermiones en ocho. Juntando las dos cosas, se puede intuir que algo raro va a haber en la ruptura de Pati-Salam a SM, y esa rareza, que desconocemos, debe ser la causa de que los bosones de esa ruptura, ni su gauge ni sus higgses, no aparezcan por ningun lado; no pueden jugar la misma partida que el resto de las interacciones gauge, porque no podemos pasar de siete dimensiones.

Cómo salvé a las teorias supersímetricas (y II)

Esta es la segunda parte de Composites y SUSY, tras el intermedio motivador de la desintegracion del Z0.

Me ha dicho amarashiki que tendria que ser muy didactico para convencerle, o para convencer a alguien. Voy a intentarlo, aunque no se si saldrá bien, ni lo de ser didactico, ni lo de convencer. Con sembrar duda suficiente para que recomendeis esta entrada del blog, me conformo.

Lo habiamos dejado en plantearnos si los escalares susy podian ser compuestos. No significa necesariamente que tengan subestructura real, basta con que tengan una simetria “global de sabor”. ¿La tienen?

Tomemos primero los sleptons, los escalares leptonicos. Como hay tres generaciones de particulas, y cada fermion tiene dos escalares asociados, tendremos en total 24 sleptons: 6 de carga negativa, 6 de carga positiva y 12 neutros.

Si queremos organizarlos como compuestos, tendremos que usar un producto de dos representaciones del mismo grupo de simetria de sabor. Resulta que sí que tenemos un candidato: SU(5), cuya representacion 24 puede obtenerse a partir del producto de las representaciones \(\bf 5 \times \bar 5\). Ello nos da un 24 + 1, y nos quedamos con la 24. La barrita encima del segundo cinco indica que cogemos las “antiparticulas”.

Pero ¿tiene esto las cargas adecuadas?. Podemos ver que sí, acogiendonos a la descomposicion de SU(5) en dos subgrupos de sabor, SU(3) x SU(2), cada uno con una carga electrica fija. Si le damos al SU(3) una carga \(x\) y al SU(2) una carga \(x+1\), los distintos pares “particula/antiparticula” iran sumando bien 1, bien -1, bien 0. Se puede ver que la construccion completa monta lo que queriamos, y en particular seis de carga negativa a base de una “particula” del SU(3) combinada con una “antiparticula” del SU(2).

¿No estoy siendo lo suficientemente didactico? Pues bueno, voy a poner una regla mnemotecnica que ayudará bastante: etiquetemos las particulas de carga \(x\) con los nombres d,s,b. Y las particulas de carga \(x+1\) con los nombres u,c. De forma que la representacion fundamental de SU(5) la podemos etiquetar con los nombres (d,s,b,u,c), y la construccion del producto es basicamente unir una “particula” de la fundamental con una “antiparticula” de la antifundamental, y luego quitar la diagonal para quedarnos con el 24. Fijaos que obviamente todas las de la diagonal son neutras; de aqui es de donde estamos sacando los s-neutrinos.

Pues eso, ya tenemos los leptones escalares. Vamos con los squarks.

Resulta que funciona el mismo truco. Es rarisimo que funcione, pero justo da la coincidencia de que tenemos tres generaciones y eso ayuda mucho. Total, que vamos a usar para construir los anti-squarks el producto de \(\bf 5 \times 5\), y obviamente usaremos para los squarks el \(\bf \bar 5 \times \bar 5\).

En este caso, tiramos de teoria de grupos y vemos que el producto \(\bf 5 \times 5\) se descompone en \(\bf \bar {15}+ \bar {10}\). Es una molestia, porque solo necesitamos doce anti-squarks de un color dado: seis de carga electrica -2/3, y seis de carga electrica +1/3. Pero podemos ver que los doce se encuentran en la representacion \(\bf \bar{15}\), la cual contiene justo seis de carga \(2 x + 1\), seis de carga \(2 x\), y tres de carga \(2 x + 2\).

Total, que poniendo, como ya os estabais suponiendo todos, \(x=-1/3\), sale lo que queremos: seis anti-squarks de carga +1/3 y seis anti-squarks de carga -2/3.

En resumen, hemos conseguido construir todas las particulas escalares supersimetricas a base de cinco piezas en los compuestos: tres “tipo D”, d,s,b, de carga -1/3 y dos “tipo U”, u,c, de carga +2/3 ¡Caramba, que curioso!

fermionbosoncarga
electrica
color 
electron, muon, neutrinolas 6 parejas de tipo (D,anti-U)-1singlete
neutrinos12 combinaciones de tipo (D,anti-D) o (U,anti-U)0singlete
up, charm, toplas 6 parejas de tipo (anti-D,anti-D)+2/3triplete
down, strange, bottomlas 6 parejas de tipo (anti-D,anti-U)-1/3triplete

De momento, estos d,s,b,u,c son preones, subcomponentes de los squarks. Pero vaya, tiene su delito que tengan que tener la misma carga electrica y carga de color que los quarks que ya conocemos. ¿Nos lo tomamos mas en serio? A ver si va a resultar que los preones de los squarks son los quarks, unidos por la fuerza de color…

pero entonces… ¿no faltaría alguien? En efecto, el quark top no hace de preon. Es como si el quark top no pudiera formar particulas compuestas con los demas quarks. Que cosa tan rara, ello podria ocurrir por ejemplo si la masa del top fuera superior a la de la W y muchisimo mas alta que la escala de QCD, de forma que se desintegrara antes de poder formar enlaces. ¡Anda, si es así! Aqui hay ademas un detalle interesante, en cierto modo esto solo funciona con tres generaciones. Con mas de tres, podriamos por supuesto seguir haciendo el mismo truco pero tendriamos que poner generaciones enteras en la masa del top, o mayor, y no habria manera de sacar un numero aceptable de neutrinos.

pero entonces, ¡wait! los preones de los sleptons… ¿decimos que son pares quark-antiquark, y su composicion incluye unirlos con la fuerza de color? ¿Eso son los mesones, no? Pues vaya, para que este lio fuera cierto, si la supersimetria esta solo debilmente rota, los mesones tendrian que tener la misma masa que los leptones escalares.

Pues o mucho ha cambiado la cosa desde que escribí los articulos (todo esto lo fuí contando en hep-ph/0512065, 0710.1526 y 0910.4793), o resulta que sí que la tienen. Ademas si bien es posible justificar que el lepton tau pesa mas o menos lo mismo que los mesones con quarks de segunda o tercera generacion, la cercania de la masa entre el muon y el pion no tiene ninguna justificacion conocida. Y ahi esta.

Vamos, que podemos,
1) asumir que los squarks y sleptons tienen una simetria de sabor compatible con el ser compuestos.
Y tirando a ser un pelin mas heterodoxos,
2) observar que los preones de los compuestos se parecen asombrosamente a los propios quarks, y que las masas que conocemos que forman los quarks en la interacción fuerte, los mesones, estan en consonancia con una ruptura suave de la supersimetria.
y 3) sospechar que hemos encontrado el famoso requisito de bootstrap que se postulo en el equipo de Chew en los sesenta, en el que para acabar este sinvivir de ir encontrando preones de preones y subcomponentes de subcomponentes, en algun planteamiento todas las particulas debian estar compuestas de ellas mismas. No se encontró entonces una solución no trivial, pero ni se sabia cuantas generaciones habia, ni se tenia la herramienta de la supersimetria.

En resumen, SUSY esta salvada, con los resultados del LHC, porque no hay que buscar nuevos squarks ni sleptons. Y claro, no hay Nobeles para el descubrimiento de la primera particula supersimetrica… porque ya se dieron a lo descubierto en los años cincuenta y han estado ahi delante de nuestras narices todo este tiempo.

Connes-Lott … y Coquereux y más gente.

He mencionado un seminario en Karpatz. No se si sabreís que esta escuela se celebra en Febrero. Allí fuimos Jose Luis Lopez y un servidor, en tren hasta la frontera con Polonia, o Silesia o como se llame, y en un autobus hasta la nieve, que salimos del bus con ropa de verano en medio de lo que parecia una tempestad.

Total, que entre otras charlas había una de Robert Coquereaux sobre Geometría No Commutativa para modelar el Higgs, con unos ejemplos triviales practicamente de matrices 2×2, y me quede convencido. El año de Leipzig mis apuntes de la charla de Connes se habian limitado a dos lineas: el título y una nota: “parece interesante”.

A la vuelta, ¡resulto que el departamento acababa de reclutar a dos investigadores que trabajaban en ese tema! Pepe Gracia-Bondía y Joe Varilly, que pasearon por medio mundo su  “preprint amarillo“. Poco despues, en el verano de 1995, Connes organizaba una sesion de los cursos de verano de Les Houches sobre el tema, y presentaba un nuevo concepto, “reality”, que simplificaba mucho el formalismo. Así que allí acudí y fue un mes bastante intenso, con los nuevos resultados e incluso alguna que otra esperanza, que no cuajo, de acabar encontrando una simetria de quantum group… quizas para las generaciones, pero no lo juraria.

Un resumen de aquellos primeros diez años de geometria no conmutativa podeis consultarlo, de manera bastante incomoda, aqui:
http://dftuz.unizar.es/~rivero/research/ncactors.html

Mis intentos de investigación personal fueron bastante malos; preparé un articulo, hep-th/9605006, sobre la posibilidad de incluir otro boson Z’, pero me desanimé despues de que una crítica bastante contundente de Joe. Mejor terminó el intento de sacar algo en claro del “Tangent Grupoid”, porque se pusieron manos a la obra Pepin, Jesus y Eduardo y finalmente salió un report publicable, aunque con muchas manos para tan poco tema. Lo que a mi me preocubaba del grupoide tangente era su aplicación pata entender la discretización del espacio y por ello de las derivadas. Pensaba que en esa ambiguedad de la derivada no sólo podia encerrarse la ambiguedad en las reglas de cuantización (conmutadores, etc) sino tambien la justificación para necesitar al menos tres generaciones, asociada al hecho de que necesitabamos obtener al menos derivadas segundas en mecanica clásica. Algo de esto lo conté en un borrador hep-th/9804169, y la cuestión de como funciona esta discretización se convirtio en uno de mis motivos subsconcientes -o no tanto-.

Parte del estudio del grupoide tangente lo incorporó otro de los coautores senior, Joe Varilly, en las lecciones que estuvo dando en Monsaraz, en el Alentejo de Portugal. Allí colaboré como tutor, con poco trabajo de mi parte; no había aparecido ninguna posibilidad de hacer estancias de postdoct en este tema y preferí pasar a trabajar en la empresa privada. Posiblemente no fué demasiado buena idea. Es dificil pensar algo de calidad mientras estas currando en cosas diversas; por ello la investigación “amateur” no es una opción demasiado recomendable.

Por cierto que lo de usar NCG para determinar el modelo estandar no es tema cerrado, y hablaré de ello en otros posts. Este año ha habido un par de publicaciones dandle vueltas a las predicciones que se pueden obtener cuando el flujo de renormalizacion se mete por medio:

Ali H. Chamseddine, Alain Connes “Resilience of the Spectral Standard Model
Christopher Estrada, Matilde Marcolli “Asymptotic safety, hypergeometric functions, and the Higgs mass in spectral action models

Notas sobre Kaluza – Klein

He hablado mucho de Kaluza Klein en otros sitios, tanto en comentarios de otros blogs como en foros, asi que a los que me conocen las entradas en esta sección wiki-like les van a resultar un poco repetitivas.

Lo más sorprendente de esta teoria es como se enterró despues de renacer. Recordemos que en los 70 habian vuelto a plantearse las dimensiones extras por dos motivos: por el hecho de que eran necesarias en cuerdas y supercuerdas, y porque se descubrio que las supergravedades en 4D podian verse como compactificaciones de Kaluza Klein sencillas, en toros y hasta de maneras mas crudas, de la supergravedad de máxima dimension posible, la de 11D.  Y naturalmente los de cuerdas enseguida probaron que las sugra en 10D eran limites de la teoria de cuerdas, así que todos contentos. En eso llega el heterodoxo Witten en el 81, y dice, “pero vamos a ver, lo que queremos es el grupo gauge, ¿no?”. Y el tio calcula cual era la dimension minima que necesitaba para que un espacio tuviera como grupo de isometrias el del modelo estandard, \(SU(3) \otimes SU(2)\otimes U(1)\).