Active Research – Incidencias

Quantum Free Fall

Abundando en el post sobre Newton, quizas la forma más corta de empezar a ver la mecanica cuantica es el movimiento en un campo de fuerzas constante, como el de un condensador, o como el de la caida parabolica de Galileo de toda la vida:

El area del rectangulo mide

\(v_0 \Delta t \Delta E \over m g\)

Y por tanto, lo que nos dice el principio de indeterminacion (todavia el de Sommerfeld, en este caso: \(\Delta t \Delta E \ge \hbar\)) es que no podemos construir un rectangulo de area infinitesimalmente pequeña. El area minima, si estamos haciendo “gravedad galileana cuantica”, seria \(v_0 \hbar \over m g\). O en general, con una fuerza constante de intensidad F, \(v_0 \hbar \over F\)

Un indicador del nacionalismo via Twitter

O más bien del regionalismo, y más concretamente de la existencia de hashtags regionales.

En esta grafica tenemos hastags geoposicionados en los últimos seis meses, de forma que en la coordenada horizontal contamos el total de apariciones de un hashtag y en la vertical (¿alguien se acuerda de cual era la ordenada y cual la abscisa?) el numero de apariciones dentro del rectangulo que contiene a Aragón (y de paso, algo de Castellon y media Navarra, claro).

Hay dos nubes de puntos: la obvia correspondiente a que muchos hastags del submuestreo aragones tienen la misma probabilidad de ser empleados en Aragón que en toda España, y de ahi la nube de la parte derecha, formando una diagonal cuya posición depende del porcentaje de poblacion. En el lado izquierdo tendremos la nube de palabras que se usan más frecuentemente en la región que en el resto de España; si estan pegadas a la diagonal, son exclusivas de la region.

Asi pues, la diagonal paralela a la derecha nos indica lo que tenemos en comun, la nube de la izquierda nos indica los “regionalismos”. Podriamos medir una contra la otra para decidir como de similar es la región al resto de españa. Pero en realidad la pista importante es lo que falta: no hay una nube clara de hashtags frecuentes españoles que a los aragoneses le importen un carajo; esa nube tendria que aparecer en la parte inferior derecha de la grafica y, al menos en este caso, no ocurre. O al menos, no es demasiado visible. Podriamos intentar asignar coordenadas a dos muestreos separados, uno para la region y otro para el resto de España, y en cada uno muestrear el mismo numero de puntos.

Es tentador intentar hacer esta grafica para diferentes territorios, pero lo mas interesante es que ni siquiera tendrian por qué ser territorios; en vez de por geoposicion podriamos considerar dos grupos grandes de twitteros, y ver en que coinciden y en que difieren.

Un fundamento de la mecanica cuantica

Estamos acostumbrados a la cuantización con su espacio de fase (x,p) y sus reglas de conmutación para posición y momento, y por ello a la hora de discutir sus fundamentos no parece lógico irse mas alla del formalismo hamiltoniano clásico; o como mucho de los principios de minima accion. Pero incluso esos formalismos tuvieron sus origenes, y tirando para atras me encuentro este dibujo primitivo de un rectangulo producto de \(\Delta x\) y \(\Delta p\):

MS Add. 3965.7, ff. 55-62* Theor. 3. — MS Add. 3965.7, ff. 55-62*

Veamoslo: la linea RQ es, se nos dice en el texto, proporcional a la fuerza y al intervalo de tiempo al cuadrado, y por tanto, dado que la fuerza aplicada en el intervalo de tiempo genera la variación de momento, lo es tambien a este último.

\(\overline {RQ} \sim F (\Delta t)^2 \sim (F\Delta t)\Delta t\sim \Delta p \Delta t\)

Por otro lado, la linea RP (y tambien la PQ, claro, en el límite) es el intervalo espacial recorrido \(\Delta x\), asi que el area de la “figura indefinitè parva QRPT” es proporcional al producto de las variaciones de posicion y momento,

\({\bar {\overline {QRPT}}\over \Delta t} \sim \Delta p \Delta x\)

Por tanto, y quizas un pelin anacronicamente, podemos decir que la primera pieza de la mecanica cuantica ya estaba dibujada de la mano de Newton en 1684.

Naturalmente, estamos aun en mecanica clasica y esperamos que el area QRPT tienda a cero mas rapidamente que \(\Delta t\). lo que ocurre por obvia y gracia de la aceleración centripeta y, en ultima instancia, de la parabola de Galileo. Aunque en el uso inmediato de la figura Newton no tiene que preocuparse de ello, porque el intervalo de tiempo, ley de Kepler mediando, es proporcional al area barrida, y por ello puede usar el producto de SP y QT en sus consideraciones.

Un precursor del principio de indeterminacion

Pongamos que tenemos que tomar una decisión sobre una variacion de recursos \(\Delta Q\), que tendremos que donar, absorber, distribuir, o alguna operación de ese estilo. Quizas algo de High Frequency Trading, donde tenemos que competir con otros agentes. El tiempo que necesitaremos para esta decisión podria depender de la magnitud de este cambio:

\(\Delta t \geq f(\Delta Q)\)

Una estrategia valida sería tener un cluster de maquinas paralelas disponibles, en Amazon o en algun sistema de Cloud, para calcular la operación, y asignar máquinas al cálculo de forma proporcional a la magnitud que estemos considerando: a más importancia del cambio, más nos podemos permitir gastar y más máquinas metemos en el saco, dividiendo el tiempo de cálculo total. De esta manera, al paralelizar el proceso, tendremos situaciones en las que el tiempo de tomar la decision se reducirá y en algunos casos llegaremos a situaciones de alto paralelismo en las que incluso sera inversamente proporcional a la magnitud \(\Delta Q\):

\(\Delta t \geq{K\over \Delta Q}\)

O lo que es lo mismo:

\(\Delta Q \Delta t \geq K\)

Esto es, un proceso meramente economico ¡puede estar afectado por un principio de indeterminación!

De hecho, este principio es bastante similar a uno del que me enteré el otro dia gracias al video de una charla de @EDocet.

\(\Delta E \Delta t \geq h\)

Y que fue propuesto por Sommerfeld en 1911 como idea para intentar explicar la emisión y scattering de determinados tipos de radiación: que el tiempo necesario para emitir tal radiación fuera inversamente proporcional a la energia implicada. Lo cual de golpe es anti-intuitivo, aunque en el turno de preguntas Poincaré, creo recordar, sugirió que habia modelos de colisiónes donde habia dependencias todavia más raras con el radio de las bolas que colisionaban. El asunto quedo subsumido en los principios de cuantización de Bohr-Sommerfeld, que eran para orbitas cerradas y por ello más faciles de manejar, y no tengo noticias de que se le diera más vueltas. Pero ahi estaba la idea, y cuando unos años despues Heisenberg obtenia con precisión matemática su principio de incertidumbre, no le pillaba demasiado de sorpresa porque sabia que estaba dando rigor a una intuición de uno de sus mentores.

Menos que orden árbol

En QFT es muy típico hacer una primera estimación a “orden árbol”, sin considerar creación de pares particula/antiparticula. Pero particularmente me resulta muy educativo considerar las diferentes fuerzas muy a la antigua, como si estuvieramos en Bohr-Sommerfeld, o incluso en Bohr a secas: considerar la vieja condicion de equilibrio de fuerzas en una orbita circular:

\({V^2 \over r} = {F / m}\)

Moviendo la masa orbitante al lado izquierdo, podemos poner la formula en función del momento angular, y por tanto comparar directamente con la acción minima de mecanica cuántica, la cte de Planck \(h\) (y algunos factores multiplos de pi que siempre me olvido, y que me voy a ahorrar para este comentario)

\(L {V \over r^2} = F\)

El primer caso de interes es el electromagnetismo, o simplemente un campo electrostatico en tres dimensiones espaciales, poniendo \(F = K / r^2\). El dato del radio se simplifica a uno y otro lado y nos queda

\(L={K\over V}\)

Ahora ponemos un poco de ciencia moderna: por un lado V no puede rebasar la velocidad de la luz, y por otro no puede ser mayor que la cte de Planck. Estas dos condiciones

\(L < {K \over c}; \;\) \(h < L\)

Son las que definen la cte de estructura fina, \(\alpha \approx {K\over c h}\), que cobra su sentido en la zona cercana a la “saturacion” de las desigualdades, cuando el sistema es a la vez relativista y cuantico. El hecho de que la cte de estructura fina sea pequeña implica que el regimen relativista esta bien regido por la mecanica cuantica, tenemos “autorizacion clasica” para ir a momentos angulares hasta 137 veces más pequeños que la cte de Planck, y es logico que la cuántica tenga algo que decir, pues tiene que prohibir esos nivels. Por cierto, que si calcularamos el radio en función de la velocidad, veriamos que a velocidad c corresponde el radio cero.

Si la constante de estructura fina fuera de orden unidad o mayor, entonces ya no esta tan claro que tengamos algo que hacer con la mecanica cuántica: simplemente las reglas del electromagnetismo dejarian las orbitas estables fuera del dominio de la teoria de Bohr-Sommerfeld.

Otra fuerza interesante es la fuerza constante que se supone tienen los potenciales confinantes como el de QCD. En tal caso, no hay forma de simplificar los radios, y la condicion cuantica parece ser (con las unidades adecuadas para la cte de fuerza, K).

\(h< L < {K r^2 \over c}\)

Pero la condicion “relativista” es mas intriguante. El radio depende de la velocidad, a partir de la ecuacion inicial v^2/r=K/m, o lo que es lo mismo

\(r={m v^2 \over K}\)

asi que en realidad

\(L={K\over v}({m v^2\over K})^2= {m^2 \over K} v^3 = \)

Y en el limite relativista tambien el momento angular tiene un máximo, no un minimo (y de hecho se va a infinito). Nuestra teoria juguete “de cuerdas de Bohr-Sommerfeld” dice que

\(h<{m^2\over K}v^3<{m^2\over K}c^3\)

Y si la particula orbitante tiene masa en reposo distinta de cero, aplicamos \(m=m_0/\sqrt{1-v^2/c^2}\)

\(h<{m_0^2\over K}{v^3\over 1-v^2/c^2}<\infty\)

El resultado es llamativo. Para una masa en reposo lo suficientemente grande, los estados ligados cuanticos ni siquiera son relativistas. La cuerda cuantica relativista cobra mas sentido cuando la particula en el extremo es massless, sin masa en reposo, y entonces v=c. Dejamos como “ejercicio” el considerar qué pasa en cada caso con el radio del estado “fundamental” cuantico, esto es, el de momento angular L=h.