Incidencias

Lógica Revolucionaria

Considerad el sistema de proposiciones formados por las frases del tipo “este angulo esta entre XXX e YYY grados, no inclusive”, más sus uniones e intersecciones finitas. Quizas este es el ejemplo mas trivial de una lógica donde la negación de la negación es el original pero la union de de una proposicion y su opuesta no es el total.

Este “no inclusive” se traduce la topologia habitual de la circunferencia como “conjunto abierto”. Si dijeramos “inclusive”, serian “conjuntos cerrados”. En general la interseccion y union finita de abiertos es abierta, y lo mismo con los cerrados; asi que lo que estamos haciendo es escoger una logica donde no nos creemos que podemos apuntar exactamente a una barrera, y nos tenemos que limitar a considerar interiores, trazos entre limites.

No es todavia un ejemplo de “tertium datur”, pero sí que es una muestra de que no puede uno tragarse alegremente que “tertium non datur”. Porque si ponemos que A sea “estar entre 0 y 90 grados”, y entonces la union de A con NO A es la union de “estar entre 0 y 90 grados” con “estar entre 90 y 360 grados”, entonces, como hemos dicho que los extremos no estaban en estos trazos, vemos que no tenemos la circunferencia completa, el trazo que incluye todas las posibilidades.

Vamos, que el axioma formal de “A o NO A = Total” es falso. Pero si lo leemos literalmente, “tertium non datur”, como que no hay un tercer caso, es todavia valido, dado que el conjunto compuesto por los puntos 90 y 360 no es un abierto, y no esta por tanto en nuestro espacio logico. No obstante este “tertium” esta ahi, y vemos que en cierto modo puede aparecer segun y como consideremos que funciona la negación: si hubieramos admitido intersecciones infinitas, recuperamos el sistema habitual de conjuntos, pero entonces tenemos aun la posibilidad de definir varios tipos de negacion. Tenemos “el complemento”, que es la logica habitual, y tenemos tambien “el abierto mas grande contenido en el complemento”, que seria lo que queda, en el sistema “completado” de todos los conjuntos con frontera incluida o no, de esta negación que hemos encontrado en el ejemplo “de solo abiertos”. En el sistema completado, pero usando la negacion de los abiertos, tan solo se cumpliria que la negacion de la negacion esta contenida en el original. Dicho en terminos formales, que “(NO (NO A)) ==> A”, pero no al reves.

Ah, esto de que lo primero de lo que nos hemos preocupamos es de las “uniones e intersecciones” es la receta habitual: primero se plantea uno una “lattice”, un sistema donde podemos construir las operaciones “AND”, “OR” y que sean mutuamente distributivas: que “X AND (Y OR Z)” sea igual a “(X AND Y) OR (X AND Z)”, y que “X OR (Y AND Z)” sea igual a “(X OR Y) AND (X OR Z)”. A estas piezas les añadimos un total T y un nulo F que funcionen como elementos neutros del AND y del OR. En todo esto no hemos dicho nada de la negacion, y por eso tenemos cierta libertad para definirla, siguiendo las pistas anteriores. Asi, se construyen por elemplo “orthonormal lattices”, que se parecen a la logica clasica, o “orthomodular lattices”, cuya negacion se parece a la de la mecanica cuantica, u otras alternativas. Sospecho que seria posible partir tambien de la construccion de la negacion y luego ver que pasa con disyunción y conjunción.

La moraleja es que la logica clasica es solo una de muchas, y que para colarla suele ser necesario tragarse implicitamente alguna creencia sobre operaciones infinitas, o limitar el sistema a un numero finito de sentencias que puedan ser la totalidad, o trucos asi… algo que desde luego no es cierto en la lengua que se habla a diario.

Cómo salvé a las teorias supersímetricas (y II)

Esta es la segunda parte de Composites y SUSY, tras el intermedio motivador de la desintegracion del Z0.

Me ha dicho amarashiki que tendria que ser muy didactico para convencerle, o para convencer a alguien. Voy a intentarlo, aunque no se si saldrá bien, ni lo de ser didactico, ni lo de convencer. Con sembrar duda suficiente para que recomendeis esta entrada del blog, me conformo.

Lo habiamos dejado en plantearnos si los escalares susy podian ser compuestos. No significa necesariamente que tengan subestructura real, basta con que tengan una simetria “global de sabor”. ¿La tienen?

Tomemos primero los sleptons, los escalares leptonicos. Como hay tres generaciones de particulas, y cada fermion tiene dos escalares asociados, tendremos en total 24 sleptons: 6 de carga negativa, 6 de carga positiva y 12 neutros.

Si queremos organizarlos como compuestos, tendremos que usar un producto de dos representaciones del mismo grupo de simetria de sabor. Resulta que sí que tenemos un candidato: SU(5), cuya representacion 24 puede obtenerse a partir del producto de las representaciones \(\bf 5 \times \bar 5\). Ello nos da un 24 + 1, y nos quedamos con la 24. La barrita encima del segundo cinco indica que cogemos las “antiparticulas”.

Pero ¿tiene esto las cargas adecuadas?. Podemos ver que sí, acogiendonos a la descomposicion de SU(5) en dos subgrupos de sabor, SU(3) x SU(2), cada uno con una carga electrica fija. Si le damos al SU(3) una carga \(x\) y al SU(2) una carga \(x+1\), los distintos pares “particula/antiparticula” iran sumando bien 1, bien -1, bien 0. Se puede ver que la construccion completa monta lo que queriamos, y en particular seis de carga negativa a base de una “particula” del SU(3) combinada con una “antiparticula” del SU(2).

¿No estoy siendo lo suficientemente didactico? Pues bueno, voy a poner una regla mnemotecnica que ayudará bastante: etiquetemos las particulas de carga \(x\) con los nombres d,s,b. Y las particulas de carga \(x+1\) con los nombres u,c. De forma que la representacion fundamental de SU(5) la podemos etiquetar con los nombres (d,s,b,u,c), y la construccion del producto es basicamente unir una “particula” de la fundamental con una “antiparticula” de la antifundamental, y luego quitar la diagonal para quedarnos con el 24. Fijaos que obviamente todas las de la diagonal son neutras; de aqui es de donde estamos sacando los s-neutrinos.

Pues eso, ya tenemos los leptones escalares. Vamos con los squarks.

Resulta que funciona el mismo truco. Es rarisimo que funcione, pero justo da la coincidencia de que tenemos tres generaciones y eso ayuda mucho. Total, que vamos a usar para construir los anti-squarks el producto de \(\bf 5 \times 5\), y obviamente usaremos para los squarks el \(\bf \bar 5 \times \bar 5\).

En este caso, tiramos de teoria de grupos y vemos que el producto \(\bf 5 \times 5\) se descompone en \(\bf \bar {15}+ \bar {10}\). Es una molestia, porque solo necesitamos doce anti-squarks de un color dado: seis de carga electrica -2/3, y seis de carga electrica +1/3. Pero podemos ver que los doce se encuentran en la representacion \(\bf \bar{15}\), la cual contiene justo seis de carga \(2 x + 1\), seis de carga \(2 x\), y tres de carga \(2 x + 2\).

Total, que poniendo, como ya os estabais suponiendo todos, \(x=-1/3\), sale lo que queremos: seis anti-squarks de carga +1/3 y seis anti-squarks de carga -2/3.

En resumen, hemos conseguido construir todas las particulas escalares supersimetricas a base de cinco piezas en los compuestos: tres “tipo D”, d,s,b, de carga -1/3 y dos “tipo U”, u,c, de carga +2/3 ¡Caramba, que curioso!

fermionbosoncarga
electrica		color
electron, muon, neutrinolas 6 parejas de tipo (D,anti-U)-1singlete
neutrinos12 combinaciones de tipo (D,anti-D) o (U,anti-U)0singlete
up, charm, toplas 6 parejas de tipo (anti-D,anti-D)+2/3triplete
down, strange, bottomlas 6 parejas de tipo (anti-D,anti-U)-1/3triplete

De momento, estos d,s,b,u,c son preones, subcomponentes de los squarks. Pero vaya, tiene su delito que tengan que tener la misma carga electrica y carga de color que los quarks que ya conocemos. ¿Nos lo tomamos mas en serio? A ver si va a resultar que los preones de los squarks son los quarks, unidos por la fuerza de color…

pero entonces… ¿no faltaría alguien? En efecto, el quark top no hace de preon. Es como si el quark top no pudiera formar particulas compuestas con los demas quarks. Que cosa tan rara, ello podria ocurrir por ejemplo si la masa del top fuera superior a la de la W y muchisimo mas alta que la escala de QCD, de forma que se desintegrara antes de poder formar enlaces. ¡Anda, si es así! Aqui hay ademas un detalle interesante, en cierto modo esto solo funciona con tres generaciones. Con mas de tres, podriamos por supuesto seguir haciendo el mismo truco pero tendriamos que poner generaciones enteras en la masa del top, o mayor, y no habria manera de sacar un numero aceptable de neutrinos.

pero entonces, ¡wait! los preones de los sleptons… ¿decimos que son pares quark-antiquark, y su composicion incluye unirlos con la fuerza de color? ¿Eso son los mesones, no? Pues vaya, para que este lio fuera cierto, si la supersimetria esta solo debilmente rota, los mesones tendrian que tener la misma masa que los leptones escalares.

Pues o mucho ha cambiado la cosa desde que escribí los articulos (todo esto lo fuí contando en hep-ph/0512065, 0710.1526 y 0910.4793), o resulta que sí que la tienen. Ademas si bien es posible justificar que el lepton tau pesa mas o menos lo mismo que los mesones con quarks de segunda o tercera generacion, la cercania de la masa entre el muon y el pion no tiene ninguna justificacion conocida. Y ahi esta.

Vamos, que podemos,
1) asumir que los squarks y sleptons tienen una simetria de sabor compatible con el ser compuestos.
Y tirando a ser un pelin mas heterodoxos,
2) observar que los preones de los compuestos se parecen asombrosamente a los propios quarks, y que las masas que conocemos que forman los quarks en la interacción fuerte, los mesones, estan en consonancia con una ruptura suave de la supersimetria.
y 3) sospechar que hemos encontrado el famoso requisito de bootstrap que se postulo en el equipo de Chew en los sesenta, en el que para acabar este sinvivir de ir encontrando preones de preones y subcomponentes de subcomponentes, en algun planteamiento todas las particulas debian estar compuestas de ellas mismas. No se encontró entonces una solución no trivial, pero ni se sabia cuantas generaciones habia, ni se tenia la herramienta de la supersimetria.

En resumen, SUSY esta salvada, con los resultados del LHC, porque no hay que buscar nuevos squarks ni sleptons. Y claro, no hay Nobeles para el descubrimiento de la primera particula supersimetrica… porque ya se dieron a lo descubierto en los años cincuenta y han estado ahi delante de nuestras narices todo este tiempo.

La Z0 y los pseudoescalares.

Ya que he mencionado y pintado en un post anterior la grafica de vida media (o decay width) versus masa, aprovecho para explicarlo un poco. En tiempos ya salio una entrada de blog invitado en ingles, con el titulo “El misterio de la amplitud del Z0” o algo asi. El misterio es que su amplitud va regulada totalmente por los parametros electrodebiles, mientras que las vidas de los mesones pseudoescalares, pion neutro y compañia, que aparecen en la grafica, vienen dadas por parametros de QCD. Vamos, que no tendrian que tener nada que ver, pero en cambio estan todas unidas por esa linea azul que representa la dependencia con el cubo de la masa. El cociente de la vida media del pion dividido por el cubo de su masa es el mismo que el de la vida media del Z0 dividido por el cubo de su masa.

Esto me lo tropece a partir de un librito muy raro, de un tal MacGregor, un experimental del fermilab de los setenta, que insistia en que podia ordenar las regularidades de las amplitudes de desintegracion a base de hacer potencias de la cte de estructura fina. No le di -ni le doy- mucha importancia, pero al volver a pintar sus graficas para ver cuanto de verdad habia, observe lo del Z0. Que no deja de tener cierto sentido si hubiera una explicacion de la masa del higgs a base de tragarse un pion, a fin de cuenta esta semana mismo Motl ha tenido la amabilidad de confirmarme que el grado de libertad que el Z0 se traga para adquirir masa, al menos en el MSSM, es un pseudoescalar.

Los articulos del Arxiv donde conté estas cosas ya los he citado antes, asi que no los repito aqui para no agobiar el sistema. No se si son de lectura muy agil, es mas eficaz simplemente pintarse la grafica.

La cultura de la transición de fase.

Ayer estuve en una presentacion, en el sotano de una libreria local, de algunos resultados del grupo 15mdata. Vienen a ser nuestra competencia, algo asi como ATLAS y CMS en el LHC. Hablamos un poco acerca del concepto de transición de fase, que nosotros empleabamos en algunas de nuestras exposiciones y que ellos tambien han presentido, tanto sobre el terreno politico (un antes y un despues del 15m) como en las medidas estadisticas.

Por supuesto, una transicion de fase es estrictamente algo bien definido, cuando se pasa por ejemplo de gas a liquido, que cambian las formas de enlazar de los atomos, los grados de cohesion del sistema, un monton de cosas. Hay ademas un tipo especial de transiciones en las que la longitud de correlacion en el sistema se hace infinita, que son las que estabamos buscando en el post anterior para intentar acelerar la formacion de consensos. La duda es si se da, en fenomenos como el 15m, esta CTF en un sentido precisamente de mecanica estadistica, ademas de darse por supuesto en el feeling y ambiente politico (como lo llamaba un colega, la “individuacion de un sujeto nuevo”).

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Supersimetria y Compuestos (I)

Voy a adelantarme en el revival de mis articulos antiguos para entrar en cómo rescaté la supersimetria en el 2005. O, más modestamente, como podría rescatarse. Pero por mantener el tono historicista, empezaré por la motivación: el rechazo de la idea, dominante desde fines de los setenta, de que todo ocurre a la escala de Gran Unificación y en los aceleradores de ahora se ve sólo la variacion de constantes que trae el grupo de renormalizacion al ir descendiendo la energia.

Ojo, esta idea, la de bajar desde GUT, tiene al menos un exito parcial: la masa del electron, que resulta estar en el rango adecuado, usando la cte de estructura fina para descender desde la masa de Planck. Esto lo explica Polchinski en su segundo tomo, aunque hay heterodoxos que han preferido otras interpretaciones (estoy pensando en Nottale, claro).

El caso es que en el 2005, enredando en los foros, empezamos a ver que habia bastantes formas en las que las cantidades a baja energia encajaban. Algunas serian simple coincidencias, y otras algunas de esas sumas globales de diagramas que ya en tiempos medio enloquecieron a Cvitanovic cuando calculaba g-2. Pero para ser coincidencias, habia demasiadas.

Justo mientras estaba leyendo sobre Koide, y por enredar con las graficas de MacGregor y familia, me habia llamado la atencion que la amplitud de decay de la Z0 se alineaba con la del resto de particulas neutras…

… lo que es milagroso porque obviamente los piones son compuestos, y la Z0 es uno de nuestros bosones gauge elementales. Pero con este detalle, que reporté en hep-ph/0507144 y hep-ph/0603145,ya tenia la mosca detras de la oreja respecto a la “compositeness”.

Y claro, los articulos de Koide del 81 se basaban en esto, en compuestos. Lo que no era demasiado satisfactorio en el 2005. La siguiente pieza era que habia estado pensando en la estabilidad del pion cuando su masa es exactamente igual que la del muon, y en la extraña coincidencia de que una masa “de Higgs-Yukawa” sea casi igual que una masa “de QCD”. Asi que en algun momento se fusionaron estas ideas, y me planteé: puede ser que la formula de Koide sea solo un indicio que se aprecia mejor en los leptones que en los mesones, y que en primer orden realmente la masa del pion sea como la del muon y lo mismo ocurra con el tau y algun otro meson… de manera que la explicacion de Koide no necesitaria que los quarks y leptones fueran compuestos, sino simplemente que fueran supersimetricos a compuestos.

Lo que significa que ya hemos encontrado los sleptons y squarks: son los mesones y diquarks.