This in an answer to the a p.SE question.

Supersymmetry

Well, for fixed \(l\), the degeneracy of \(m\) is because of SO(3) symmetry, we are just seeing a full representation of this group.

The big question is why all the radial hamiltonians \(H_l\) for different angular momenta have the same spectrum except a discrete number of eigenvalues.

Note that particularly the tower-spectrum for \(l\) and the tower for \(l+1\) only differ in one eigenvalue, the lowest energy one. This is the typical setup one can read in Witten’s Supersymmetric Quantum Mechanics: a pair of hamiltonians differing only in the vacuum eigenstate. So you should be able to build a supersymmetry generator Q such that \( H_1=QQ^+\) is the radial hamiltonian for angular momentum \(l\) and \(H_2=Q^+Q\) is the radial hamiltonian for angular momentum \(l+1\).

SUSY QM is simpler than QFT QM; it does not contemplate Spin; the state and the superpartner are just two levels in QM hamiltonians. It is just a little bit more advanced, mathematically, that the factorisation method; still it allows for some topological arguments on susy breaking that generalize to the QFT version, this was the idea of Witten when defining it.

Just now I am not sure if this the connection for every potential having $l,m$ degeneracy does exist, or only for Coulomb-Hydrogen case; to start with, it implies that the potential $V(r)$ must come from a superpotential, so surely it is not so trivial to do, not to classify all the families of radial potentials that allow to do this trick. But is is a twenty years old idea by now, so surely it is already done.

Ok, even there is an entry in the wikipedia. According it, the superpotential is
$$W = \frac{\sqrt{2m}}{h} \frac{\lambda}{2(l+1)} – \frac{h(l+1)}{r\sqrt{2m}}$$

So that the potentials
$$V_-=W^2-W’= -\lambda \frac{1}{r} + \frac{h^2 l (l+1)} {2m} \frac{1}{r^2}- \frac{\lambda^2 m}{2 h^2 (l+1)^2} $$
and
$$V_+=W^2+W’=-\lambda \frac{1}{r} + \frac{h^2 (l+1) (l+2)} {2m} \frac{1}{r^2} + \frac{\lambda^2 m}{2 h^2 (l+1)^2}$$
have the same spectrum except for the lowest energy eigenvalue of the first one, which is zero and can not appear in the second one (nice topological result).

The advantage of this explanation is that it can be extended to potentials without the full SO(4) symmetry and to more exotic cases where the pairing fails for other eigenvalues.

PS: It can be noticed that the superpotential for Coulomb problem is just a constant away from\(W(r)=1/r\). An interesting point is that this superpotential can be calibrated to pair with the free particle:\(V_+(r)=W^2+W’=0\); the superpotentials having this property generate the so-called “transparent potentials”, with special properties in the phase-shift. They can be thought as generalizing the radial equation to symmetric spaces, with\(1/r\) being the euclidean case.
connection with so(4) group representations (and Runge-Lenz vector?)

According last page of this lecture, the role of Runge-Lenz vector as a supercharge is analytically tricky. But at least we get some help from group theory, if we recall that so(4) ~ su(2) x su(2) and that so(3) ~ su(2). So for our purposes we could really write
$$so(4) \approx su(2) \oplus so(3)$$
The rotational part, so(3), gives us the $m$ degeneracy inside a representation of the group of rotations; this should exists for every central potential. The $su(2)$ part is the one whose ladder operator allows an interpretation as supersymmetry charge, where the degeneracy is not complete because of the difference in the lowest energy eigenstate; usually it disappears because $Q |\Omega>$ is not normalizable. (I am a bit fascinated that the susy ladder operator is related to an SU(2), because in susy QM this is not needed, or at least not explicit)

The supersymmetry generator Q (alt. $Q^+$) when applied to the eigenfunction of a hamiltonian produces the corresponding eigenfunction in the partner. This is the same role that the ladder generator used to produce states inside a representation of the symmetry group, but in this view it comes from the susy pairing: if
$$H_2 \psi = Q^+Q \psi = E\psi$$
then
$$H_1 (Q\psi) = (Q Q^+) (Q \psi) = Q H_2 \psi = E (Q\psi)$$

Note that the pairing fails if $Q\psi$ doesn’t exist; this is the case for the vaccum potential, but I remember that J Casahorran did some study for other eigenstates beyond the vacuum (it is tricky because of Witten’s results).

¿Cuales son las condiciones para que un potencial de Yukawa tenga estados ligados? El ejercicio es sencillo si nos lo tomamos a la Bohr, cuantizando el momento angular \(J=n\hbar\),

(Nota: esto hace que no tengamos aun efecto tunel y todas las resonancias se consideren tambien estados ligados… asi que aqui usamos indistintamente las dos palabras; es de suponer que las cotas que se dan en los articulos academicos consideran autenticos estados estables)

y seguramente es una buena base para aproximar calculos modernos y polologia del scattering… al menos si no tenemos spin ni relatividad por medio, y aun asi valdria para ir viendo las correcciones.

A partir de

\(V(r) = – \lambda { e^{-Mr} \over r} \)

\(F(r)= -V'(r)=\lambda{e^{-Mr} \over r^2}(1+Mr)\)

tendremos, igualando fuerza centrifuga \( J^2/mr^3\) y centripeta,

\({\lambda e^{-Mr}\over r^2}(1+Mr)={n^2\hbar^2\over mr^3}\)

Que queda mas legible si separamos la parte exponencial y la polinomica

\({\lambda \over n^2 \hbar^2} mr (1 +Mr) = e^{+Mr}\)

En r=0 una primera la parabola del lado izquierdo parte desde “y=0”, y la exponencial del lado derecho parte desde “y=1”. Una primara condicion para que pueda haber alguna solucion es que la exponencial crezca al principio mas despacio que el polinomio. Derivamos pues y obtenemos la condicion:

\({\lambda \over n^2 \hbar^2} m>M\)

o \(\frac mM>{n^2\hbar^2\over\lambda}\)

Que ya es un resultado interesante, pero realmente no garantiza que tengamos solucion; la exponencial podria dispararse y pasar rozando la parabola sin tocarla. Lo que queremos es el valor “critico” en el que las dos curvas son tangentes. Asi que imponemos simultaneamente igualdad de lados izquierdo y derecho y de sus derivadas. Que es una forma un poco retorcida, pero mas operativa, de decir que queremos que la derivada sea igual a cero.

\({\lambda \over n^2 \hbar^2} m ( 1 + 2 M r)= Me^{+Mr}\)

Ahora, dividiendo ambas ecuaciones tenemos

\({(1+2 Mr)\over r(1+Mr)}=M\)

cuya solucion es

\(Mr={1+\sqrt 5\over 2}\)

Y sustituyendo arriba

\(\frac mM={n^2\hbar^2\over\lambda}{e^{+Mr}\over 1+2Mr}={n^2\hbar^2\over\lambda}{e^{1+\sqrt 5\over 2}\over 2+\sqrt 5}\)

Usease, y asi vemos que el primer intento no iba tan desencaminado:

\(\frac mM>1.19052{n^2\hbar^2\over\lambda}\)

Cuando \(m\lambda\) supera este valor critico, aparece una solucion de orbita de Bohr n en el radio critico, \(r=\phi/M\), y al ir aumentando bien la masa de la particula atrapada bien su acoplo, esta solucion se bifurca en dos, un minimo del potencial efectivo hacia menor radio y un maximo hacia mayor.  El fenomeno es bastante parecido a la aparicion de estados ligados en un potencial de pozo, asi que podemos sospechar que eventualmente una de pasara de ser una resonancia a convertirse en el estado ligado que queremos.  Las orbitas de mayor momento angular tendran seguramente comportamiento similar, aunque para pozos genericos creo recordar que habia algun caso en el que el estado ligado aparecia exactamente en energia cero, y aqui podria ocurrir lo mismo. En el caso que nos ocupa no parece que el valor de la energia potencial en el que aparece el estado tenga ninguna particularidad

\(V(r_c) = – \lambda M { e^{-\phi} \over \phi}\)

Sí que es interesante que la existencia del estado ligado depende tambien de incrementar \(m\), que a fín de cuentas es la masa reducida, \(m_1m_2/(m_1+m_2)\) del sistema de dos particulas, por lo que la condicion  es realmente

\({m_1m_2\over m_1+m_2}>1.19052{n^2\hbar^2\over\lambda}M\)

o \(\lambda >1.19052 n^2\hbar^2 {M(m_1+m_2)\over m_1 m_2}\)

y habria que ver como reaparece y se modifica esta regla al ir sofisticando la aproximacion y la cinematica: con NRQM, con relativistic, con spin, con aproximacion de Born, con QFT… Como minimo, hay que darse cuenta de que con Pauli o Sommerfeld la interpretacion del momento angular cambia, y ademas hay que admitir el caso l=0, donde no hay termino centrifugo y no podemos ni siquiera sacar este onset, que ocurre tan solo a partir de la onda l=1.

Relacion con otras cotas

Poniendo unidades \(1=2m=\hbar\), y n=1, la condicion para la existencia de estado ligado seria

\(\frac \lambda M > 2* 1.19052\)

Usando ya la ecuacion de Schroedinger: Una condicion necesaria, pero no suficiente, es la de Bargmann-Schwinger (Jost-Pais?), que la integral de r V(r) sea mayor que que uno. En este caso tendriamos que lambda/M >1, asi que se cumple trivialmente. Tambien Calogero tiene una cota necesaria generica en la que se pide que la integral de \(\sqrt{-V(r)}\) sea mayor que pi/2. Y vease tambien Brau 2004.

Especificamente para Yukawa, Bennett 81 repasa varias cotas existentes.  Al parecer la mejor cota necesaria es \(\frac \lambda M > 1.65\) y me hace temer que se me haya escapado por algun lado una raiz de dos o algun problema de interpretacion del momento angular en old QM comparada con NRQM.

Este articulo de De Leo y Rotelli es un poco mas raro y nos dice que tendriamos que haber obtenido \(\lambda/M= 0.84/m\), que es casi lo contrario de lo que en realidad tenemos, \(.8399\lambda/M= 1/m\).  Y tambien nos dice que fijando \(\lambda=1\) sí que hay unos limites $M/m$ de 1.19 y 1.68 segun estemos resolviendo la ecuacion de Schroedinger o la de Dirac. Es dificil ver como se puede comparar con esta aproximación, no digamos  ya encontrar el error.

Relacion con polologia

El hecho de que el punto de contacto entre las dos lineas sea siempre en el mismo radio, independiente de la capa -para una onda dada al menos- recuerda bastante a otro fenomeno de la matriz de scattering: que los polos entran a la linea \(ik\) siempre en el mismo punto, o en tan solo un par de lugares como mucho, a medida que vamos variando la cte de acoplo.  Como ocurre aqui, los polos suelen entrar primero como resonancias, en el semiplano negativo, en pares; uno de ellos se aleja hacia el infinito y otro viaja hacia el origen para convertirse en un estado ligado… que aparece a energia cero, no a una energia menor.

Además de la relativamente razonable “tú a qué te metes, si esto esta ya muy estudiao”, la observacion anterior tiene dos problemas:

1. Es de esperar que la fuerza electrodebil este completamente desacoplada -Applequist-Carazone decoupling – de la nuclear, dadas las distintas escalas de energia que se manejan.
2. Hay que tener una situacion en la que la corrección es más sensible a la masa de todo el nucleo -un sistema de muchos cuerpos- que a la del nucleon o a la de los quarks con los que realmente se interactua.

Sobre la primera objeccion

Hay que tener en cuenta que tampoco esperamos un desacoplo total, “de teorema”, porque la teoria de baja energia en este caso precisamente es no renormalizable, y el decoupling para lo que se suele invocar es para justificar la renormalizabilidad de la teoria de baja energia (esta es la doctrina de que “no es sorprendente que el Modelo Estandar sea renormalizable”). Ahora, esto no nos quita para que tengamos claro que en cualquier calculo nos vamos a comer con patatas divisores del orden de la masa del vacio electrodebil, eso es a fin de cuentas la propia definicion de la cte de Fermi.

Es posible suavizar un poco el impacto de estos divisores cuando nos damos cuenta de que todo lo que queremos es una contribución similar a las que otros mesones aportan al termino de spin-orbita; no queremos reinterpretar la fueza nuclear al completo sino dar una correccion de segundo orden. Eso sí; ocurre que la corrección de spin-orbita es por si misma una parte importante de todo el potencial nuclear, asi que aun desde este punto de vista estariamos pensando en correcciones de un diez por ciento, no más pequeñas.

En cuestion de energia absoluta, un pozo de potencial nuclear tiene una profundidad de unos 40 MeV y entran una media docena de capas completas; asi que para alterar lo suficiente el sistema hay que pensar en correcciones de 5 u 8 MeV.  Si asumimos que la combinacion de los efectos conocidos nos hace la mitad del trabajo, contemos que necesitamos que la correccion sea de unos 2-3 MeV.

Por otro lado, sabemos que el decoupling nos va a meter, como hemos dicho, factores del orden $m/(100 GeV)$, lo que no esta muy claro es cual es la escala $m$ ni sobre que escala estariamos corrigiendo. Si hablamos de $m$ es alguno de los mesones, \(\rho, \sigma, \omega\) estamos hablando de 750 MeV, y esperariamos correcciones del orden de 0.750/125.0= 0.6 por ciento, en el mejor de los casos un 1%, en el peor (pion/higgs) un 0.1%.

Tomemos ese 0.6%. A falta de un modelo, no sabemos como ni realmente donde se aplica esa correcion. Si se aplicara por ejemplo a algo de la propia escala del nucleon, 1 GeV, estariamos hablando de correcciones de 0.6%  * 1 GeV = 6MeV. Si son correcciones en la escala de la particula sigma, estariamos hablando de 3 MeV. Si lo son al propio pozo de potencial, estariamos en el orden de 250 KeV, un orden de magnitud por debajo de lo necesario.

Notese que intuitivamente parece -por la costumbre que tenemos de altas energias- que el desacoplo es mucho mayor.

Por supuesto hay que considerar tambien como se acoplarian los bosones al sistema nuclear; en este sentido el Higgs tiene peor viaje que W y Z, porque estos ultimos se acoplan de forma universal con la cte de acoplo de SU(2)xU(1), mientras que el Higgs se acopla via las ctes de los acoplos de yukawa, que son espectacularmente pequeñas para el caso de los quarks u y d. Es posible que haya que considerar loops incluyendo el quark top para conseguir acoplos cercanos a uno, y en ese caso la dinamica se hace aún mas confusa…. aunque es interesante porque en mi primera aproximacion a este tema incluí tambien la posiblidad de tener otra contribucion a la altura de la masa del top, que corregiria a la vez la capa N=126 y Z=82.

Sobre la segunda objeccion

La debilidad de algunos acoplos, y de la corrección en si, podria compensarse por un efecto de resonancia debido a las masas de los bosones contra la totalidad de la masa del nucleo, a fin de cuentas eso es lo que estamos leyendo de la “evidencia experimental”: que los efectos ocurren, o comienzan a ocurrir, segun se alcanzan estas masas.

Esto se encuentra tambien en el rango de impausible pero no imposible. Es necesario que el momento intercambiado sea menor que el inverso del radio del nucleo, pongamos menor que 100 MeV, para que el boson no sea capaz de distinguir nucleones individuales. Esto es lo que ocurre en la emision dipolar desde una capa electronica del atomo: el foton es del orden de unos pocos keV y su longitud de onda del orden de la del atomo completo, asi que no es capaz de distinguir electrones individuales, ve toda la capa como un solo ente. Por supuesto el foton sale de un electron concreto, pero el efecto juega con la energia de todo el atomo.

Lamentablemte esto significa que hay que estudiar la parte infrarroja de la teoria, que normalmente ocultamos bajo la regularizacion.

Hay algun caso más o menos bien conocido donde se considera la masa completa del nucleo; por ejemplo en el modelo ingenuo de deteccion de neutrinos, emitiendo un muon o un electron. Ahi se cumple la condicion de pequeño momento. Vease e.g. las formulas de coherent scattering en arxiv:1305.7513.

Concluyendo

(continuara)

A -sort of- measurement of the Higgs Boson mass

To put some numbers to our previous observations and go beyond eyeball line fit, we need to review the collections of nuclear fission data. There are two recent fits in the literature form which we can extract tables. The thesis of R.W. Mills “Fission product yield evaluation” (Birmingham, 1995), for the UKFY3 database, does a five-peaks fit of 24 (n,f) reactions, and we can pass to GeV the position of the asymmetric S1 channel and average all the reactions; this average is \(124.64 \pm 0.55\) GeV. Or we can use a more recent seven peaks fit, from D.M. Gorodisskiy, S.I. Mulgin, A.Ya. Rusanov, S.V. Zhdanov multi-modal analysis of (p,f) reactions (STI/PUB/1286, April 2008), and again look to the position of the S1 channel over ten different nuclides, getting an average of \(125.12 \pm 0.65\) GeV.

 

Channels in fission have been evaluated and systematized from the works of Wahl and, particularly, of Brosa, where one “standard symmetric” channel of equal-fragment fission and two “standard asymmetric” channels S1, S2 are considered. The latter are associated to peaks in the large fragment that in turn are linked so some shell closure or deformed shell closure.  More recently, the analysis of the external “wings” of the mass distributions has induced to add a third channel S3 associated to a peak in the small fragment; the GMRS analysis uses all the three channels plus a non-gaussian queue in the central, symmetric channel.

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Hace poco mas de diez años, cuando habia rumores de que el Higgs podria encontrarse justo en los limites de busqueda del LEP, me planteé si seria posible que los bosones del modelo electrodebil contribuyeran a la estabilidad nuclear. Sabemos poco de la interacción que desplaza las capas y hace que los nucleos tengan unos numeros mágicos diferentes de los del oscilador armonico o de los de los niveles atomicos. Asi que le di vueltas (LS9530, 0405076) a la existencia de mecanismos que se amplificaran cuando la masa del nucleo fuera igual a la masa de la particula electrodebil.

Esto solo puede ocurrir en la parte “infrarroja” de la interaccion, cuando cualquier particula tiene una longitud de onda asociada lo suficientemente grande como para ver el nucleo completo, y no el proton o el propio quark con el que está de verdad interactuando.  El caso es que tras un par de ideas que no acababan de llegar a ningun sitio, se quedo la cosa aparcada.

Pero bueno, ahora ya tenemos la particula que faltaba del modelo electrodebil, el Higgs, asi que toca revisitarlo, aunque solo sea desde el punto de vista de motivacion grafica. Hace diez años pinte un histograma de todas las desintegraciones beta conocidas para cada masa atomica, lo que en realidad es el histograma de un sesgo experimental: conocemos muchas mas desintegraciones en la zona de productos de fision, porque eso se estudia sin tener que disparar con un acelerador al nucleo.  Luego lo que en realidad queremos es el histograma de “fission yields”, de productos de fusion. Y resulta que ahora hay un recurso por internet que te permite dibujarlo directamente para los tres casos mas tipicos,  dos de uranio y uno de plutonio. Helos aquí.

Las tres lineas negras son las masas de W, Z0 y Higgs, repectivamente A=86.29, A=97.89 y A=134.28. Por cierto, el histograma aquél tambien lo pinté en coordenadas NZ.

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