He vuelto a mirar el preprint de 1981 y en terminos de Koide la formula es extremadamente sencilla, incluso se puede argumentar que es lo siguiente a que sean todas las masas cero. La idea de Koide es dar, entre otras, una formula de masas para los leptones cargados, $$m_{e_i} \propto (z_0 + z_i)^2$$ donde los componentes cumplen las condiciones
$$z_1+z_2+z_3=0$$
$$\frac 13(z_1^2+z_2^2+z_3^2)=z_0^2$$
Ahora bien, la primera condicion en si misma es muy potente. Su cuadrado \(()^2 = 0\) permite eliminar terminos cruzados, y su aplicacion en la suma de masas nos dice inmediatamente que
$$\sum m_i = 3z_0^2 + (z_1^2+z_2^2+z_3^2) $$
En cierto modo la suma de masas es la norma del vector de valores singulares de alguna matriz \(A\) que construye via \(M=AA^+\) la matriz de masas. Suena a supersimetria pero tambien valdria la descomposicion de Cholesky. Salvando lo peregrino de la idea de ver los autovalores de una matriz, o los valores singulares, como un vector… lo que importa aqui es la idea de que queremos formar la suma de sus cuadrados.
En cuanto a la segunda condicion, vemos con el signo cambiado resolveria a cero las tres masas. De la manera postulada, lo que hace es que la traza de la matriz de masas sea simplemente \(6 z_0^2\)
En el analisis fenomenologico explotamos la idea de ortogonalidad para definir una tripleta complementaria a la de Harari-Haut-Wylers. Recordemos que esta tripleta tiene masas $$0, 1-{\sqrt 3 \over 2}, 1+{\sqrt 3 \over 2}$$
Construiamos una segunda tripleta $$4, 1+{\sqrt 3 \over 2}, 1-{\sqrt 3 \over 2}$$ argumentando que sus raices eran ortogonales, y observabamos que era bastante cercana a la tripleta experimental de los leptones cargados (y por ende, a la de los mesones).
Podriamos argumentar que la nocion de ortogonalidad implica la existencia de una tercera tripleta. Esto es porque si tenemos dos tuplas \(z_0+z_i, w_0+w_i\) que cumplen la primera condicion de Koide, su producto automaticamente cumple $$3 z_0 w_0 + (z_1 w_1+z_2 w_2+z_3 w_3) =0$$ y por tanto al combinarlo con la segunda condicion obtenemos que $$ 3 (z_0+w_0)^2 – \sum (z_i-w_i)^2 = 0$$ y de aqui la tercera tripleta asociada a esta «ortogonalidad», \(r_0=z_0+w_0, r_i=z_i-w_i\). En este caso concreto vuelve a aparecer una masa cero y por tanto reproducimos simplemente la tripleta original, escalada.
Respecto a esta coincidencia de los valores de las masas, la esperanza era que no fuera accidental y se correspondiera a alguno de los mecanismos de preservacion de supersimetria, pero es dificil dar una formulacion tan solo con matrices discretas.