Very drafty, hoy. Thinking aloud y todo eso.

Ok, empezemos buscando en SO(9) un U(1) que se parezca a B-L.

La irrep 9 descompone a SU(4) x SU(2):

9 —> (1,3)+(6,1)

Y el sextete de SU(4) descompone a SU(3)xU(1)

(3)(-2)+(Overscript[3, _])(2)

Por otro lado, tambien podriamos descomponer el triplete de SU(2), simplemente a un U(1):

((2))+((0))+((-2))

No estoy seguro de que realmente tengan la misma normalizacion, asi que voy a poner un factor “k” entre la carga U(1) que viene del triplete y la que viene del sextete).  Con ello, tendriamos que los nueve elementos de la fundamental de SO(9) tendrian carga

2k, 2, 2, 2, 0, -2, -2, -2 -2k

La fundamental de SU(4) descompone en (1)(-3)+(3)(1). Lo tradicional es normalizar de forma que el triplete de SU(3) tenga numero B-L igual a 1/3.  Asi que nuestros nueve elementos en la normalizacion usual (posiblemente habria sido mejor idea dividir entre otro factor dos, ademas) serian:

2k/3, 2/3, 2/3, 2/3, 0, -2/3, -2/3, -2/3, -2k/3

Ahora, vamos a construir un 84 tomando todas las posibles combinaciones de tres elementos, y asumiendo que este numero es aditivo. Nos sale una tabla:

Que en principio es bastante satisfactoria. Por ejemplo, con k=1 podriamos separar los elementos de carga entera de los de carga fraccionaria y el numero de componentes seria de 24 + 60, consistente con tres generaciones de leptones y cinco sabores de quarks, esto es, excluyendo el quark top.  Ello hace que el tensor totalmente antisimetrico de D=11 SUGRA sea muy apetecible como un mecanismo para proteger la masa de los fermiones del modelo estandar. Podria preocupar que SO(9) no tenga representaciones quirales, pero estamos jugando con color, carga electrica y numeros barionico y leptonico, que no necesitan que el grupo tenga representaciones complejas; aun asi el propio termino de masas no deja de ser algo que va de una quiralidad a la otra y se hace raro, pero de momento dejamos aparcada esa cuestion.

Un poco mas preocupante es que la descomposicion directa de la 84 de SO(9) no hace tan visible esta tabla:

84 = (1, 1) + (6, 3) + (10, 1) + (10, 1) + (15, 3)

¿como se reunen los elementos anteriores para formar los decupletes y hasta el triplete de quinces? La dependencia que hemos dejado en k no la verian en esta otra descompsicion ni los singletes de SU(2) ni el elemento central de los dos tripletes, eso es, solo la verian 12 componetes de (6,3) y 30 componentes de (15,3), un total de 42. .. que en efecto es el numero de componentes que dependen de k, pero siendo que es justo la mitad, no queda claro si ha sido solo casualidad.

Fijandonos en los singletes podemos hacer mas asignaciones: (1,1)  ha de ser ace, que no ve el SU(4), y los decupletes (10,1) y (bar10, 1) podrian ser los elementos compuestos excusivamente de b y d, por tanto ciegos a SU(2). De hecho suman 20: bbb, bbd, ddb,ddd.

Nos quedan pues otros 21, tambien en (6,3)+(15,3), que serian bbc 3 , abe 3 , bcd 9, cdd 3 , ade 3. El bcd esta forzosamente en (15,3).

Veamos si el siguiente paso de los branching aclara las cosas. Los decupletes, al caer de SU(4) a SU(3)xU(1), se dividen en (1)(?6) + (3)(?2) + (6)(2). El sextete cae a (3)(?2) + (3)(2), y el 15 a (1)(0) + (3)(4) + (3)(?4) + (8)(0).  Las cargas parecen encajar si ponemos abe y ade en el (6,3) y dejamos en (15,3) los doblemente cargados bbc y cdd junto con bcd.

En los decupletes, el asunto se complica, y parece que aqui lo de jugar con representacion y conjugada nos hace una mala pasada. Pareciera que podemos poner bbb y ddd a las cargas +6,-6…. pero de alguna manera bbd y dbb estarian a caballo entre las dos representaciones.

Tambien me pregunto si en realidad es obligatorio hacer todo el paseillo de descomposicion o basta con asignar a los nueve elementos una carga y ver que sale. Sobre todo por asignar cargas asimetricas, dado que otra cosa que me interesa es dejar protegido al top pero desprotegidos a los neutrinos…

Me explico: en Teoria M (¡hala, ya salio!) tenemos realmente dos 84 que son duales entre si. Uno es el campo de Ramond de la M2-brana y otro, tensor antisimetrico de seis componentes, seria el campo de la M5-brana. Estaria bien que la operacion de dualizar intercambiara la proteccion “de masa de Dirac” por la proteccion “de masa de Majorana”. Esta ultima no es en el fondo mas que dar carga no nula a las particulas, para que no puedan ser iguales a su antiparticula.

En este segundo caso en vez de la division 24 + 60 deberiamos encontrar una 12 + 72, con solo los neutrinos desprotegidos, o incluso una 6+78, con solo los neutrinos “right” desprotegidos.

===========================A partir de aqui son notas (todavia más) sueltas

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Saca el Scientific American del mes de Mayo un articulo de cuatro paginas sobre la ausencia de supersimetria en los resultados del LHC y los sospechosos habituales (Motl, Woit) ya no tienen practicamente nada que añadir, asi que el debate es, de puro cansancio, más sereno.

Basicamente, la cuestion esta en si la cosmologia, disfrazada como escala de Planck, es o no una rama de la fisica de particulas. La confusion en fisica fundamental esta desde el principio, o mejor dicho desde los Principia, dado que es un libro que establece a la vez conceptos fundamentales, como masa, fuerza y momento de cualquier particula, y conceptos cosmologicos o astrofisicos (o lo que sea, yo nunca he sabido como se les llama): la fuerza de Gravitacion Universal. Es lo que tiene la Universalidad.

Uno de mis asombros desde primero de carrera fue enterarme de que muchos de mis compañeros se matriculaban en fisica por este asunto del cosmos: querian ser astronomos, estudiar el universo, su origen, esas cosas… Luego se encontraban con que nuestra facultad no tenia grandes contactos con los observatorios y acababan pasandose a materia condensada o a humanidades. Y en el plano teorico, estudiaban particulas porque la investigacion en relatividad general, hace veinticinco años, no tenia muchas novedades.

Pues bien, resulta que esa tendencia era mas universal de lo que yo pensaba y en cuanto los fisicos tienen una oportunidad de hacer algun descubrimiento que tenga conexion con la fuerza de gravedad, salen disparados y olvidan en que estaban trabajando. Y en una costumbre muy general de nuestra rama, afirman que siguen trabajando en lo mismo. Asi se desarrolló la enfermedad cosmologica/astrofisica de la teoria de cuerdas. Una teoria de la interaccion fuerte transformada con entusiasmo en una teoria de la gravedad, y afirmando que seguia siendo una teoria de particulas. Y arrastrada con ella, la supersimetria, convertida en supergravedad. Una vez asimilada esta transformacion, los entusiastas ya pueden afirmar, y creerselo ellos mismos, que cualquier avance en observaciones astronomicas es un importante avance en el campo de las particulas elementales y por tanto el area avanza por buen camino. Eso choca, claro, con los pocos que se acuerdan de que el tema de investigacion es la estructura de la materia, que los resultados experimentales son los que salen en los aceleradores de particulas, y los resultados teoricos tendrian que estar en ese ambito.

Pienso que esa es la psicologia subyacente, aunque sí que es cierto que hubo factores que ayudaron a este desplazamiento mental hacia la escala de Planck: la unificacion de acoplos, que ocurre cerca de esta escala, y la doctrina de la teoria efectiva, que nos dice que el encanto de la renormalizabilidad del modelo estandar es un simple efecto de ser una teoria de baja energia; y por tanto apunta hacia la de alta energia como la unica de la que se pueden sacar principios basicos con los que reducir los parametros que aun quedan libres en nuestro modelo de particulas.

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