G h, el trialogo

Como consecuencia del post anterior, uno puede revisitar el trialogo sobre el numero de constantes fundamentales y plantearse si no deberian ser dos de ellas la velocidad de la luz, \(c\), y la velocidad areal minima, \(c L_P\). Con ello, nos queda decidir que ocurre con la Gravedad y la cte de Planck, teniendo en cuenta que

$$G \hbar = c^3 L_P^2$$

Normalmente uno entiende la longitud de Planck asociada a G. Pero si insistimos en que el termino de la derecha permanezca constante, entonces hay que balancear G con la constante de Planck.

$$ G = \frac{1}{\hbar}$$

Lo que lleva a distintos problemas si queremos poder considerar el limite clásico, \(\hbar \to 0\) y el limite minkoswkiano \(G \to 0\). Por supuesto la conclusion trivial es que hay que llevarse siempre a cero la longitud de Planck. Pero uno tambien puede considerar el limite a cero de la velocidad de la luz, Carrollian Gravity, o el limite de constante de Newton infinita, Strong Coupled Gravity.

Es interesante tambien considerar la comparacion con electromagnetismo, donde jugamos con \(\alpha\) adimensional pero podriamos jugar con una constante \(K\) similar a \(G M m\). La sorpresa entonces es lo sencillas y naturales, valga la redundancia, que quedan las unidades, simplemente \(\alpha \hbar c\). Y aquí se encuentra otro nido de avispas, el de si las unidades fundamentales son simplemente conveniencia o si tienen algún significado físico al poderse hacer desarrollos perturbativos y límites con ellas.

En general un potencial \(V(r) = K r^n\) hace que \(K\) tenga unidades $$[K]= [M][L]^{n+2}[T]^{-2} =[\hbar][ c ][L]^{n-1}$$ pero tambien podriamos poner tranqulamente \([E][L]^{-n}\) o cualquier cosa que nos interese. Hace falta un significado fisico subyacente.