La curva de Lorenz de una distribucion da una idea de la desigualdad entre nodos ricos y nodos pobres, representando la tipica frase “el xxx% de la poblacion posee el yyy% de la riqueza”, que hemos usado en las tablas de los posts anteriores. A partir de ella se puede considerar el índice de Gini, que viene a ser el area entre esta curva y la diagonal.

Una cosa curiosa de una distribucion exponencial, digamos para riqueza media \(k_m\),

\(p(k)= {1 \over k_m} e^{- {k\over k_m}} \)

es que la curva de Lorenz tiene en si misma cierta invarianza de escala, pues es independiente del parametro que gobierna la exponencial. Esto me pilló de sorpresa el otro dia y lo he calculado lo menos cinco o seis veces; de hecho es un ejercicio muy majo y rápido para poner en los problemas de integrales del bachillerato. De todas formas el resultado esta directamente en la wikipedia; el porcentaje R de riqueza poseido por el porcentaje P mas pobre de la poblacion es:

\(R(P)=P + (1 – P) \ln (1-P)\)

Y, claro, esto significa que el coeficiente de Gini es tambien independiente de la riqueza media de la exponencial; es siempre igual a 0.5.

A nosotros nos interesa más bien el porcentaje Y de riqueza poseido por el porcentaje X mas rico de la población, dado que estamos estudiando sobre todo la parte extrema de la distribucion. Obviamente Y=1-R y X=1-P, asi que

\(Y(X) = 1-R(1-X) = X (1 – \ln X)\)

Que es el resultado al que -todavia misteriosamente- parecen converger los dos primeros experimentos de los posts anteriores. Fijaos que esta función es la integral del logaritmo, usease que se da el caso de que la “densidad porcentual” de riqueza es

\(Y'(X) = – \ln X\)

Lo que me lleva a la confusión de llamar de cuando en cuando “distribución logaritmica” a la exponencial, pero es una nomenclatura de la que me estoy corrigiendo (no ocurre lo mismo con el llamar “porcentajes” al tanto por uno, que es lo que he estado haciendo en todo este post, y no tiene visos de cambiar, porque ademas de sonarme muy pedante no esta el simbolo directamente en el teclado)

En general, es curioso esto de pensar en distribuciones de riqueza con la exponencial; es como si la probabilidad de tener un dinero en el rango (el “bin” o cesto) X_n fuera de algun modo proporcional directamente a la probabilidad de tener un dinero en el bin anterior X_n-1. Y los estadisticos tienen un montón de distribuciones alternativas para encajar empiricamente los casos extremos, tirando de Gamma o de Weilbull.

Igual no se trata tanto de que los ricos juegen en otra liga a la hora de repartir, sino de que la distribución de valores altos es invariante de escala, y no una simple bajada exponencial.
Por cierto, que he de dedicar al menos otro post a las distribuciones que hemos usado antes, y a la propia cuestion de cómo y cuándo las exponenciales sacan condiciones del tipo “el x por ciento de los individuos posee el (1-log x) x de la riqueza”. Me lo apunto.

Al grano. Un articulo de introducción rapida a todas estas distribuciones, que ademas analiza como ejemplo la lista de millonarios de Forbes, es el de Newman “Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law“. Tambien, la mayoria de los textos sobre networks suelen llevar alguna descripción; por ejemplo la seccion 2.3.5 de “Complex networks: Structure and dynamics” (uno de sus coautores pertenece al BIFI, asi que esto es propaganda encubierta;-).

La clave de estas distribuciones parece ser combinar preferential attachment “el rico se hace mas rico” con crecimiento “siempre hay pardillos nuevos”. Normalmente se define el tiempo de manera que el crecimiento de la poblacion es constante. Esto saca algunas cosas chocantes en comparacion con los timos, digo con la economia real, porque un nodo va a mejorar de forma tipica con alguna raiz (cuadrada, etc) de ese tiempo. Pero a la hora de hacer calculos se entiende mejor, y a fin de cuentas a lo que vamos es al resultado asintotico.

Pues bueno, lo que se me ha ocurrido es agarrar el python y preparar el siguiente programa:

reparto=10
while True:
  for i in xrange(reparto):
    concede=randint(1,total)
    x, ticks =-1,0
    while ticks < concede:
      x+=1
      ticks+=cantnum[x] # cantidad[x]*numero[x]
    numero[x]-=1
    cantnum[x]-=cantidad[x]
    if (x>0):
       numero[x-1]+=1
       cantnum[x-1]+=cantidad[x-1]
    else:
        numero.insert(x,1)
        cantnum.insert(x,cantidad[x]+1) #ojo, antes de modificar cantidad!!
        cantidad.insert(x,cantidad[x]+1)
    total+=1
    #ahora anadimos un nuevo nodo con cantidad 1
    x=len(cantidad)-1
    numero[x]+=1
    cantnum[x]+=1
    total+=1
  reparto=(reparto*2)%1000000 

…

Ley de potencias para los más ricos?Read More »