Incidencias – Page 24 – Un blog de Alejandro Rivero

Why are hydrogen energy levels degenerate in ??

This in an answer to the a p.SE question.

Supersymmetry

Well, for fixed $l$, the degeneracy of $m$ is because of SO(3) symmetry, we are just seeing a full representation of this group.

The big question is why all the radial hamiltonians $H_l$ for different angular momenta have the same spectrum except a discrete number of eigenvalues.

Note that particularly the tower-spectrum for $l$ and the tower for $l+1$ only differ in one eigenvalue, the lowest energy one. This is the typical setup one can read in Witten’s Supersymmetric Quantum Mechanics: a pair of hamiltonians differing only in the vacuum eigenstate. So you should be able to build a supersymmetry generator Q such that $ H_1=QQ^+$ is the radial hamiltonian for angular momentum $l$ and $H_2=Q^+Q$ is the radial hamiltonian for angular momentum $l+1$.

SUSY QM is simpler than QFT QM; it does not contemplate Spin; the state and the superpartner are just two levels in QM hamiltonians. It is just a little bit more advanced, mathematically, that the factorisation method; still it allows for some topological arguments on susy breaking that generalize to the QFT version, this was the idea of Witten when defining it.

Just now I am not sure if this the connection for every potential having $l,m$ degeneracy does exist, or only for Coulomb-Hydrogen case; to start with, it implies that the potential $V(r)$ must come from a superpotential, so surely it is not so trivial to do, not to classify all the families of radial potentials that allow to do this trick. But is is a twenty years old idea by now, so surely it is already done.

Ok, even there is an entry in the wikipedia. According it, the superpotential is
$$W = \frac{\sqrt{2m}}{h} \frac{\lambda}{2(l+1)} – \frac{h(l+1)}{r\sqrt{2m}}$$

So that the potentials
$$V_-=W^2-W’= -\lambda \frac{1}{r} + \frac{h^2 l (l+1)} {2m} \frac{1}{r^2}- \frac{\lambda^2 m}{2 h^2 (l+1)^2} $$
and
$$V_+=W^2+W’=-\lambda \frac{1}{r} + \frac{h^2 (l+1) (l+2)} {2m} \frac{1}{r^2} + \frac{\lambda^2 m}{2 h^2 (l+1)^2}$$
have the same spectrum except for the lowest energy eigenvalue of the first one, which is zero and can not appear in the second one (nice topological result).

The advantage of this explanation is that it can be extended to potentials without the full SO(4) symmetry and to more exotic cases where the pairing fails for other eigenvalues.

PS: It can be noticed that the superpotential for Coulomb problem is just a constant away from$W(r)=1/r$. An interesting point is that this superpotential can be calibrated to pair with the free particle:$V_+(r)=W^2+W’=0$; the superpotentials having this property generate the so-called “transparent potentials”, with special properties in the phase-shift. They can be thought as generalizing the radial equation to symmetric spaces, with$1/r$ being the euclidean case.
connection with so(4) group representations (and Runge-Lenz vector?)

According last page of this lecture, the role of Runge-Lenz vector as a supercharge is analytically tricky. But at least we get some help from group theory, if we recall that so(4) ~ su(2) x su(2) and that so(3) ~ su(2). So for our purposes we could really write
$$so(4) \approx su(2) \oplus so(3)$$
The rotational part, so(3), gives us the $m$ degeneracy inside a representation of the group of rotations; this should exists for every central potential. The $su(2)$ part is the one whose ladder operator allows an interpretation as supersymmetry charge, where the degeneracy is not complete because of the difference in the lowest energy eigenstate; usually it disappears because $Q |\Omega>$ is not normalizable. (I am a bit fascinated that the susy ladder operator is related to an SU(2), because in susy QM this is not needed, or at least not explicit)

The supersymmetry generator Q (alt. $Q^+$) when applied to the eigenfunction of a hamiltonian produces the corresponding eigenfunction in the partner. This is the same role that the ladder generator used to produce states inside a representation of the symmetry group, but in this view it comes from the susy pairing: if
$$H_2 \psi = Q^+Q \psi = E\psi$$
then
$$H_1 (Q\psi) = (Q Q^+) (Q \psi) = Q H_2 \psi = E (Q\psi)$$

Note that the pairing fails if $Q\psi$ doesn’t exist; this is the case for the vaccum potential, but I remember that J Casahorran did some study for other eigenstates beyond the vacuum (it is tricky because of Witten’s results).

Estados ligados del potencial de Yukawa. A la Bohr.

¿Cuales son las condiciones para que un potencial de Yukawa tenga estados ligados? El ejercicio es sencillo si nos lo tomamos a la Bohr, cuantizando el momento angular $J=n\hbar$,

(Nota: esto hace que no tengamos aun efecto tunel y todas las resonancias se consideren tambien estados ligados… asi que aqui usamos indistintamente las dos palabras; es de suponer que las cotas que se dan en los articulos academicos consideran autenticos estados estables)

y seguramente es una buena base para aproximar calculos modernos y polologia del scattering… al menos si no tenemos spin ni relatividad por medio, y aun asi valdria para ir viendo las correcciones.

A partir de

$V(r) = – \lambda { e^{-Mr} \over r} $

$F(r)= -V'(r)=\lambda{e^{-Mr} \over r^2}(1+Mr)$

tendremos, igualando fuerza centrifuga $ J^2/mr^3$ y centripeta,

${\lambda e^{-Mr}\over r^2}(1+Mr)={n^2\hbar^2\over mr^3}$

Que queda mas legible si separamos la parte exponencial y la polinomica

${\lambda \over n^2 \hbar^2} mr (1 +Mr) = e^{+Mr}$

En r=0 una primera la parabola del lado izquierdo parte desde “y=0”, y la exponencial del lado derecho parte desde “y=1”. Una primara condicion para que pueda haber alguna solucion es que la exponencial crezca al principio mas despacio que el polinomio. Derivamos pues y obtenemos la condicion:

${\lambda \over n^2 \hbar^2} m>M$

o $\frac mM>{n^2\hbar^2\over\lambda}$

Que ya es un resultado interesante, pero realmente no garantiza que tengamos solucion; la exponencial podria dispararse y pasar rozando la parabola sin tocarla. Lo que queremos es el valor “critico” en el que las dos curvas son tangentes. Asi que imponemos simultaneamente igualdad de lados izquierdo y derecho y de sus derivadas. Que es una forma un poco retorcida, pero mas operativa, de decir que queremos que la derivada sea igual a cero.

${\lambda \over n^2 \hbar^2} m ( 1 + 2 M r)= Me^{+Mr}$

Ahora, dividiendo ambas ecuaciones tenemos

${(1+2 Mr)\over r(1+Mr)}=M$

cuya solucion es

$Mr={1+\sqrt 5\over 2}$

Y sustituyendo arriba

$\frac mM={n^2\hbar^2\over\lambda}{e^{+Mr}\over 1+2Mr}={n^2\hbar^2\over\lambda}{e^{1+\sqrt 5\over 2}\over 2+\sqrt 5}$

Usease, y asi vemos que el primer intento no iba tan desencaminado:

$\frac mM>1.19052{n^2\hbar^2\over\lambda}$

Cuando $m\lambda$ supera este valor critico, aparece una solucion de orbita de Bohr n en el radio critico, $r=\phi/M$, y al ir aumentando bien la masa de la particula atrapada bien su acoplo, esta solucion se bifurca en dos, un minimo del potencial efectivo hacia menor radio y un maximo hacia mayor. El fenomeno es bastante parecido a la aparicion de estados ligados en un potencial de pozo, asi que podemos sospechar que eventualmente una de pasara de ser una resonancia a convertirse en el estado ligado que queremos. Las orbitas de mayor momento angular tendran seguramente comportamiento similar, aunque para pozos genericos creo recordar que habia algun caso en el que el estado ligado aparecia exactamente en energia cero, y aqui podria ocurrir lo mismo. En el caso que nos ocupa no parece que el valor de la energia potencial en el que aparece el estado tenga ninguna particularidad

$V(r_c) = – \lambda M { e^{-\phi} \over \phi}$

Sí que es interesante que la existencia del estado ligado depende tambien de incrementar $m$, que a fín de cuentas es la masa reducida, $m_1m_2/(m_1+m_2)$ del sistema de dos particulas, por lo que la condicion es realmente

${m_1m_2\over m_1+m_2}>1.19052{n^2\hbar^2\over\lambda}M$

o $\lambda >1.19052 n^2\hbar^2 {M(m_1+m_2)\over m_1 m_2}$

y habria que ver como reaparece y se modifica esta regla al ir sofisticando la aproximacion y la cinematica: con NRQM, con relativistic, con spin, con aproximacion de Born, con QFT… Como minimo, hay que darse cuenta de que con Pauli o Sommerfeld la interpretacion del momento angular cambia, y ademas hay que admitir el caso l=0, donde no hay termino centrifugo y no podemos ni siquiera sacar este onset, que ocurre tan solo a partir de la onda l=1.

Relacion con otras cotas

Poniendo unidades $1=2m=\hbar$, y n=1, la condicion para la existencia de estado ligado seria

$\frac \lambda M > 2* 1.19052$

Usando ya la ecuacion de Schroedinger: Una condicion necesaria, pero no suficiente, es la de Bargmann-Schwinger (Jost-Pais?), que la integral de r V(r) sea mayor que que uno. En este caso tendriamos que lambda/M >1, asi que se cumple trivialmente. Tambien Calogero tiene una cota necesaria generica en la que se pide que la integral de $\sqrt{-V(r)}$ sea mayor que pi/2. Y vease tambien Brau 2004.

Especificamente para Yukawa, Bennett 81 repasa varias cotas existentes. Al parecer la mejor cota necesaria es $\frac \lambda M > 1.65$ y me hace temer que se me haya escapado por algun lado una raiz de dos o algun problema de interpretacion del momento angular en old QM comparada con NRQM.

Este articulo de De Leo y Rotelli es un poco mas raro y nos dice que tendriamos que haber obtenido $\lambda/M= 0.84/m$, que es casi lo contrario de lo que en realidad tenemos, $.8399\lambda/M= 1/m$. Y tambien nos dice que fijando $\lambda=1$ sí que hay unos limites $M/m$ de 1.19 y 1.68 segun estemos resolviendo la ecuacion de Schroedinger o la de Dirac. Es dificil ver como se puede comparar con esta aproximación, no digamos ya encontrar el error.

Relacion con polologia

El hecho de que el punto de contacto entre las dos lineas sea siempre en el mismo radio, independiente de la capa -para una onda dada al menos- recuerda bastante a otro fenomeno de la matriz de scattering: que los polos entran a la linea $ik$ siempre en el mismo punto, o en tan solo un par de lugares como mucho, a medida que vamos variando la cte de acoplo. Como ocurre aqui, los polos suelen entrar primero como resonancias, en el semiplano negativo, en pares; uno de ellos se aleja hacia el infinito y otro viaja hacia el origen para convertirse en un estado ligado… que aparece a energia cero, no a una energia menor.

De la concordancia de los filósofos

Curioso post rescatado de las paginas de geocities.

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Entre todos los esoterismos, hay uno menos odioso que los demás, y es aquél que en vez de apelar a iluminaciones y arrebatos apela, lisa y llanamente, al hecho experimental. Dicen los escrutadores de este arte que aquí no hay posibilidad de confusión: si el practicante esta equivocado, no conseguirá la piedra. Y el propio camino esta plagado de verificaciones particulares, experimentos que muestran la habilidad e inteligencia adquirida en el proceso de conocer la naturaleza.

Ello no quita para que pasando el tiempo se produzca el mismo fenómeno de ocultación y degeneración que otras ciencias antiguas, como las matemáticas, la astronomía o la mecánica, han sufrido. Los sucesivos fracasos en conseguir los efectos de la piedra filosofal ya llevaron, en pasados siglos, a un incremento del juego alegórico seguida de un intento de proclamar la falsedad de cualquier lectura directa y un sentido oculto de iluminación interior (“la piedra eres tú”) con el que había que aproximarse a leer los textos alquimistas, despojados de todo laboratorio real, alejados del peligro de fuego, barro y vidrio. Peligro, sí, sobre todo para el ocultista, que puede verse arrebatado de toda su fe ante la evidencia de lo que pasa delante suyo en la retorta. Así que mejor era apartarlos de los experimentos, y en eso se estaba si no llega a ser por una afortunada coincidencia a principios de siglo en París.

Imagínense ustedes la sorpresa de un grupo de aficionados de lo oculto al empezar a oírse en los cafeses rumores sobre el trabajo de un joven matrimonio, ahí mismo entre Notre Dame y el Pantheon, que buscaban nuevos elementos de la materia y dejaban la puerta abierta al viejo fantasma, la transmutación. La sorpresa iría en aumento al filtrarse noticias de los métodos de trabajo, de que estaban trayendo toneladas de material de la vieja mina de Georg Agrícola, el primer mineralogista, de que estaban filtrando y filtrando repetidas veces, usando separación con mercurio y todos los métodos clásicos de los libros, que al parecer no eran simples metáforas de un proceso de iluminación. Puede que los Curie y los Fulcanelli no se cruzaran sino al azar en los jardines de Luxemburgo o incluso al pie de Nuestra Señora, y quizás nunca se hablaron, pero las noticias de la prensa eran suficientes. Para cuando el comité Nobel proclamaba a los primeros como herederos de la vieja alquimia los segundos ya habían apostado por reconstruir los hornos y volver a mancharse las manos de carbón. Los resultados de unos y otros aparecerían en publicación durante los años veinte. El de los Curie lo escribiría su hija, y se titulaba “Prueba experimental de la transmutación de los elementos”. Los de los Fulcanelli se titularían “El misterio de las Catedrales” y “Las moradas de los filósofos”.

Poco importa que estos últimos libros fueran un laberinto de acertijos en el que es imposible determinar con certeza que experiencias se hicieron y cuales eran los materiales, proporciones y tiempos. Tal es la naturaleza de los esotéricos, una dificultad de puesta en común que los hace más propensos al error que en la ciencia exotérica común. Al menos pusieron el dedo en la llaga, en la cuestión experimental, y como mínimo han aplazado un buen puñado de decenios la degeneración definitiva de su ciencia.

A grandes rasgos, la alquimia clásica fue el estudio del procesado fisico-químico de las sustancias naturales, sobre todo aquellas de origen mineral, las que ahora irían desde la metalurgia a la gemología. Los primeros alquimistas se plantearon la cuestión del origen de los metales, y postularon que se debía a un proceso de maduración que ocurría muy lentamente en el interior de la tierra. Con el tiempo se plantearían la posibilidad de acelerar ese proceso, que culminaba en el oro, noble y muy denso. Tal aceleración tenia su utilidad practica pues evitaba recurrir a métodos burdos como el recubrimiento o las aleaciones sustitutorias, técnicas estas practicadas desde tiempos antiguos, como la anécdota de la corona de Arquímedes nos muestra. Cuando Geber estableció la posibilidad de descomponer y recomponer el Cinabrio en sus dos constituyentes elementales, mercurio y azufre, se teorizó si todos los minerales tenían una composición similar, diferenciándose solo en niveles de impureza y maduración. Por cierto que esta experiencia es relativamente fácil de realizar en España, donde los manuscritos Árabes comenzarían a traducirse al latín y lenguas europeas, y donde aún se extrae la mitad de la producción mundial de este mineral. De cualquier manera, la traducción de las técnicas arabes se expandió rápidamente por toda Europa, generando un fuerte interés tanto por la parte científica, de trabajo de la estructura de la materia, como por evidentes aplicaciones practicas. Sin descontar, claro, los tradicionales timos que aún hoy vemos operar, asociados a la venta de algún conocimiento oculto. ¡Cuantos años han pasado desde que el Siracusano clamara que no había autopistas para llegar al campo de la ciencia, y aún hay quién cree que basta con pagar un peaje!

Pero sigamos la historia: el manejo dual es bastante útil como guía de pensamiento en química (ácido/base, reducción/oxidación, etc.) y no hubo motivo ni evidencia para descartar el modelo “Mercurio/Azufre” durante mucho tiempo, aunque fue “mejorado” por Paracelso añadiendo para su ciencia médica un tercer elemento, la Sal, por cierto en la misma época en el que el modelo planetario se “mejoraba” con más círculos para explicar las trayectorias. La búsqueda de la Piedra Filosofal, distinguida de las obras prácticas que nos iban dando nitratos, ácidos y demás química moderna, la Gran Obra, en suma, no se abandonó sino que corrieron rumores de tal o cual investigador habiendo encontrado el catalizador soñado. Algunos de ellos provenían de gente de razonamiento más o menos fiable, por ejemplo Van Helmont –recordado popularmente por acuñar la palabra “gas” y por probar que una planta no se alimenta sustancialmente de tierra-. Nunca sabremos siquiera si alguna de esas casualidades eran cierta, pues ya habían comenzado, a finales del XVI, la explotación de las minas de cobre, plata y uranio alemanas, estudiadas por el ya mencionado Georg Agrícola (cierto alquimista tomaría un siglo después ese nombre).

Si la alquimia hubiese sido una filosofía desligada de la materia, quizás ahora seria una religión pagana compitiendo fuertemente con las demás. Afortunadamente, como decimos, los operarios de las retortas adquirieron de ellas la honradez del labrador de la tierra y fueron pavimentándonos el camino hacia las ciencias quimicofísicas. Poco a poco el estudio de los gases y de las proporciones de reacción llevo a resucitar la teoría atómica. El estudio de la bioelectricidad llevo rápidamente a la electricidad química y de ahí, a través de la electrólisis, a una descomposición más detallada de la materia en elementos, que finalmente arrinconaría el modelo dual alquímico. Los exoteristas tomaron el relevo y la alquimia fue a tomarse su descanso.

¿Pero, que ocurrió con la dichosa transmutación? El mismo invento que sirvió para derribar la teoría mercúrica, fíjense, acabó siendo la herramienta para los particulares buscados. Pues en acabando el XIX Becquerel encontró que algunos minerales impresionaban las películas fotográficas, y esa radiación se encontró que en parte estaba cargada eléctricamente, y que se podía crear y lanzar a voluntad contra otros materiales, y así Rutherford encontró los núcleos de los átomos y luego, bombardeando con radiación unas laminillas de aluminio, fue como se consiguieron las primeras transmutaciones de elementos, a cargo de la ya nombrada segunda generación de los Curie.

¿La Piedra? No, no se ha encontrado ese catalizador soñado, que congela el mercurio en oro al solo contacto. El problema es que tal reacción no es suficientemente exotérmica. Si consultáis las tablas, veréis que Hg 201 tiene una masa ligeramente mayor que la suma de Pt 197 y una partícula alpha, pero la radiación alfa necesita al menos de tres o cuatro MeV de energía para escapar del núcleo. El resto es fácil, porque Pt 197 cuaja en Au 197 en menos de un día, emitiendo radiación beta. Puede que recordéis la turbamulta que se monto en 1989 con el asunto de las reacciones nucleares a baja energía que dijeron haber descubierto Fleischman y Pons, e incluso llamaron “fusión fría”. Uno de los escándalos de aquella época ocurrió en College Station, la universidad Agricultural y Metalurgica de Texas, donde un viejo profesor se atrevió a traer a uno de esos pseudoalquimistas ambulantes que todas las épocas han tenido y ejecutar una receta de quemado de mercurio con pólvora, y dijeron haber detectado la beta nombrada. A fecha del 2001, ahí tenemos el ultimo capitulo de la peligrosa aventura de introducir el experimento en la casa de los místicos.

Las dichosas cuatro esquinas

Hay un blog citado mucho en twitter que se llama asi, “las cuatro esqunas del mundo“, y casi cae bien por usar ese titulo. Miré hace mucho tiempo que era eso de las esquinas, y acabó siendo el unico contenido de mi pagina de geocities, ya solo en archive.org. Voy a rescatarlo por aqui. De momento lo corto-pego, a riesgo de que google me ponga un -1 por plagio:

The Lesser Penta* Ritual

Ever wondered about the “four-corners and above” ride? Well, just put yourself in position, between Aldebaran and Antares, with formalhault in the south, summer solstice in Solomon bed, better if you move back in time to 1000 or 2000 BCE, and then look above you:

(picture taken from AllTheSky website).

As you can know, the magick conjure is stored in the common lore via the bedtime prayer

To God Almighty,
The Lord of Israel,
May Michael be at my right hand,
Gabriel at my left hand,
Before me Raphael and
Behind me Uriel,
And above me the Divine Presence of God.

which comes via the the sefarditic tradition (see below, and also in the book from Pedrosa titled “Las dos Sirenas”). When child, I was used to a Christian version “Cuatro esquinitas tiene mi cama, cuatro angelitos que me acompañan. Virgen Maria, no me desampares, ni de noche ni de dia”. Related to this we were used to the bedtime prayer “Con Dios me acuesto, con Dios me levanto, con la Virgen Maria y el Espiritu Santo”. Or look this another version, from Malaga:

cuatro esquinitas tiene mi cama
cuatro angelitos que me la guardan
dos a los pies
dos a la cabecera
y la Virgen Maria que es mi compañera.

So it is very surprising, to an Spaniard as myself, to learnt that this rite is used (as the Lesser Banishing Ritual of the Pentagram, LBPR, or also some variants) in modern “alt magick” and “wicca” systems -at least it is surprising until one gets the original sources, most probably hispanic based.

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weak force and nuclear shells, revisited (y III)

Además de la relativamente razonable “tú a qué te metes, si esto esta ya muy estudiao”, la observacion anterior tiene dos problemas:

Es de esperar que la fuerza electrodebil este completamente desacoplada -Applequist-Carazone decoupling – de la nuclear, dadas las distintas escalas de energia que se manejan.
Hay que tener una situacion en la que la corrección es más sensible a la masa de todo el nucleo -un sistema de muchos cuerpos- que a la del nucleon o a la de los quarks con los que realmente se interactua.

Sobre la primera objeccion

Hay que tener en cuenta que tampoco esperamos un desacoplo total, “de teorema”, porque la teoria de baja energia en este caso precisamente es no renormalizable, y el decoupling para lo que se suele invocar es para justificar la renormalizabilidad de la teoria de baja energia (esta es la doctrina de que “no es sorprendente que el Modelo Estandar sea renormalizable”). Ahora, esto no nos quita para que tengamos claro que en cualquier calculo nos vamos a comer con patatas divisores del orden de la masa del vacio electrodebil, eso es a fin de cuentas la propia definicion de la cte de Fermi.

Es posible suavizar un poco el impacto de estos divisores cuando nos damos cuenta de que todo lo que queremos es una contribución similar a las que otros mesones aportan al termino de spin-orbita; no queremos reinterpretar la fueza nuclear al completo sino dar una correccion de segundo orden. Eso sí; ocurre que la corrección de spin-orbita es por si misma una parte importante de todo el potencial nuclear, asi que aun desde este punto de vista estariamos pensando en correcciones de un diez por ciento, no más pequeñas.

En cuestion de energia absoluta, un pozo de potencial nuclear tiene una profundidad de unos 40 MeV y entran una media docena de capas completas; asi que para alterar lo suficiente el sistema hay que pensar en correcciones de 5 u 8 MeV. Si asumimos que la combinacion de los efectos conocidos nos hace la mitad del trabajo, contemos que necesitamos que la correccion sea de unos 2-3 MeV.

Por otro lado, sabemos que el decoupling nos va a meter, como hemos dicho, factores del orden $m/(100 GeV)$, lo que no esta muy claro es cual es la escala $m$ ni sobre que escala estariamos corrigiendo. Si hablamos de $m$ es alguno de los mesones, $\rho, \sigma, \omega$ estamos hablando de 750 MeV, y esperariamos correcciones del orden de 0.750/125.0= 0.6 por ciento, en el mejor de los casos un 1%, en el peor (pion/higgs) un 0.1%.

Tomemos ese 0.6%. A falta de un modelo, no sabemos como ni realmente donde se aplica esa correcion. Si se aplicara por ejemplo a algo de la propia escala del nucleon, 1 GeV, estariamos hablando de correcciones de 0.6% * 1 GeV = 6MeV. Si son correcciones en la escala de la particula sigma, estariamos hablando de 3 MeV. Si lo son al propio pozo de potencial, estariamos en el orden de 250 KeV, un orden de magnitud por debajo de lo necesario.

Notese que intuitivamente parece -por la costumbre que tenemos de altas energias- que el desacoplo es mucho mayor.

Por supuesto hay que considerar tambien como se acoplarian los bosones al sistema nuclear; en este sentido el Higgs tiene peor viaje que W y Z, porque estos ultimos se acoplan de forma universal con la cte de acoplo de SU(2)xU(1), mientras que el Higgs se acopla via las ctes de los acoplos de yukawa, que son espectacularmente pequeñas para el caso de los quarks u y d. Es posible que haya que considerar loops incluyendo el quark top para conseguir acoplos cercanos a uno, y en ese caso la dinamica se hace aún mas confusa…. aunque es interesante porque en mi primera aproximacion a este tema incluí tambien la posiblidad de tener otra contribucion a la altura de la masa del top, que corregiria a la vez la capa N=126 y Z=82.

Sobre la segunda objeccion

La debilidad de algunos acoplos, y de la corrección en si, podria compensarse por un efecto de resonancia debido a las masas de los bosones contra la totalidad de la masa del nucleo, a fin de cuentas eso es lo que estamos leyendo de la “evidencia experimental”: que los efectos ocurren, o comienzan a ocurrir, segun se alcanzan estas masas.

Esto se encuentra tambien en el rango de impausible pero no imposible. Es necesario que el momento intercambiado sea menor que el inverso del radio del nucleo, pongamos menor que 100 MeV, para que el boson no sea capaz de distinguir nucleones individuales. Esto es lo que ocurre en la emision dipolar desde una capa electronica del atomo: el foton es del orden de unos pocos keV y su longitud de onda del orden de la del atomo completo, asi que no es capaz de distinguir electrones individuales, ve toda la capa como un solo ente. Por supuesto el foton sale de un electron concreto, pero el efecto juega con la energia de todo el atomo.

Lamentablemte esto significa que hay que estudiar la parte infrarroja de la teoria, que normalmente ocultamos bajo la regularizacion.

Hay algun caso más o menos bien conocido donde se considera la masa completa del nucleo; por ejemplo en el modelo ingenuo de deteccion de neutrinos, emitiendo un muon o un electron. Ahi se cumple la condicion de pequeño momento. Vease e.g. las formulas de coherent scattering en arxiv:1305.7513.

Concluyendo

(continuara)