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Articulos y preprimes medio cocinados, normalmente publicados en el arxiv y/o en la pagina de dftuz.

Mis dudas sobre mecanica cuantica

… y, espero, las de más gente. La semana pasada un amigo subió un documento animando a pensar, y escribir, sobre las cuestiones de fundamentos de la Mecánica Cuántica:

http://arxiv.org/abs/1308.5619

Shut up and let me think! Or why you should work on the foundations of quantum mechanics as much as you please

por Pablo Echenique-Robba

Y como espero que muchos de los que llegan a estas paginas tienen ese “restless intellect”, no me parece mala idea abrir el tema a ver que se oye en los comentarios, y aprovecharme de la jugada de apertura para exponer mi propia idea:

Puede que muchas de las dudas lo sean sobre los fundamentos de la mecánica clásica.

Esto parece que no se tiene en pie, porque casi todos los articulos de fundamentos se ponen a discutir páginas y páginas sobre el problema de la médida y el colapso de la función de onda, y muy poquito sobre la cuestión de la evolución de la función de onda. Mi sospecha es que es un efecto farola (“lampost effect”); que es lo que mejor dominamos, lo de la preparación de un estado cuántico y lo de su proyección en otros y cosas asi, y que por ello nos ponemos a discutir sobre ello. Pero la explicación última lleva a intentar entender la relación entre observables clásicos y cuanticos, y si existen los primeros, y si hacen falta.

Una primera evidencia de que hay algo que no se entiende en la mecánica clásica es esta: que no funciona. Que la Naturaleza no la emplea. Y sabemos exactamente lo que la Naturaleza no traga; no tiene problemas -que sepamos- con el tiempo continuo o con el espacio indefinidamente divisible. Pero se le atragantan las variaciones de momento angular. No solo el momento angular total debe conservarse; ademas dos subsistemas no pueden transferirse una cantidad cualquiera, arbitrariamente pequeña, de momento angular. Éste debe ser un múltiplo de la constante de Planck.

En el caso de la teoria de la relatividad, la constante c viene obligada por la teoria de campos clásica: una vez hemos puesto las leyes del electromagnetismo, su incompatibilidad con las transformaciones de Galileo sólo se soluciona incorporando una velocidad máxima. Entendemos pues lo suficiente de teoria de campos para que nadie se llame a engaño en cuanto a la necesidad de la mecánica relativista. Pero la constante h no parece que venga obligada de ninguna parte.

Hay otros indicios de que algo suena mal en la mecánica clásica, pero son muy pequeños. Uno de ellos es histórico, cuando te das cuenta de que los inventores del calculo infinitesimal tuvieron muchas más dudas para aplicarlo a la integración de recorridos que a la integración de longitudes y volumenes. Ya en la antiguedad, Democrito resuelve la cuestion de los infinitesimos para el volumen de la piramide y no se atreve a aplicar la misma solución a la flecha de Zenon. Y siglos despues, Newton va retrasando y retrasando la publicación de los Principia, y en cada retraso retoca y vuelve a llenar de comentarios las secciones del libro I sobre la orbita bajo fuerzas centrales, donde el principal protagonista es la conservación del momento angular y la ley de areas de Kepler.

Otro indicio viene del cálculo númerico; es muy llamatico que el desarrollo de la precision arbitrariamente grande en los algoritmos de Runge-Kutta venga dado por unos árboles, que descubrio Cayley pero que emplea un tal Butcher en este contexto, similares a los que se ha descubierto que gobiernan la inserción de loops en el proceso de renormalización de la serie perturbativa de diagramas de Feynman.

La propia serie de Feynman es otra pista: viene de expandir la integral de camino, la cúal es un desarrollo que F. tomó de un argumento de Dirac sobre las relaciones entre la mecánica cuántica y la clasica. Venia Dirac a decir que un cierto objecto clásico, la transformacion de contacto, llevaba a usar el Langrangiano como mecanismo para transferir el sistema desde un estado en tiempo t a otro en un tiempo distinto t’.

La acción, el langrangiano, tiene unidades de momento angular. Supongo que en el siglo XIX los estudiosos de la mecánica clásica consiguieron solucionar el problema de la dinámica de un objeto cuando el potencial en el que se mueve no es de fuerzas centrales, y por tanto no se conserva el momento angular. Encontraron otra cantidad, basada tambien en el producto de posición y momento, que permitia realizar la integración del recorrido, o más bien encontrar el recorrido directamente mediante un principio de busqueda de máximos y minimos, al igual que en el caso del potencial central se puede encontrar el radio de la orbita circular añadiendo simplemente una fuerza ficticia y buscando el minimo del nuevo potencial. ¿Entendemos lo suficiente estas tecnicas de mecánica lagrangiana? Si funcionan, ¿por qué diablos la Naturaleza las rechaza y prefiere regularizarlas y suavizarlas mediante la cte de Planck?

Me pregunto, volviendo al principio, cuantas de las dudas que decimos tener de “mecanica cuantica” no son sino dudas respecto a todos estos procesos de limite, de extremos y de principios de máxima acción, que hemos pasado de entender y que simplemente hemos dejado para el curso siguiente, y ahora el curso siguiente ha llegado y nos ha sorprendido. Y ojo, que seguramente ahi habrá escondidas muchas cosas que sí que se entienden perfectamente en mecánica clásica, pero que queda más elegante, o menos vergonzoso, discutir diciendo que estamos hablando de una duda de mecánica cuántica.

Delta de Feynman

Hace tiempo preparé un pequeño comentario explicando que la regularización como integral  compleja de la delta de dirac es sospechosamente parecida a la tecnica de Feynman; podemos emplear la delta para codificar una condicion de minimo f ‘(0)=0, y eso aplicado en funcionales, en el Langragiano, es lo que hace la integral de camino famosa. No lo conte muy bien, pero aqui esta mas o menos: http://dftuz.unizar.es/~rivero/research/9803035.pdf

Una pieza que se me quedó por ensamblar es el significado del principio de acción en mecanica clasica. Feynman lo entendio en una charla de pub con Dirac, en la que este le habló de las “transformaciones de contacto” y de su necesitdad en mecanica clásica, y de ahi nos perdemos en la oscuridad de la investigacion del siglo XIX. La pista de que tenga, h, unidades de momento angular, ¿significa que es en realidad la forma correcta de generalizar los potenciales centrales al campo de fuerzas genérico? ¿Es esta integral lo mejor que se puede ofrecer para minimizar pequeñisimos remolinos, cada uno cumpliendo la ley de campos centrales?

Alain encuentra un Higgs compuesto.

Pero en un sitio muy raro… para romper la simetria Pati-Salam.

No obstante, esta ha sido la primera novedad interesante de los modelos de Connes y familia desde hace cinco años, por lo menos. Y puede que vaya bien encaminada.

En los articulos del 2006, con Chamseddine y Marcolli, ya apuntaba que el algebra del modelo estandar parecia venir del algebra de Pati-Salam, pero para romper de una a otra tenia que poner un postulado extra.

Lo cual no era malo, porque en el fondo esperamos que la ruptura de Pati-Salam sea muy peculiar, y no otro Higgs mas en el bolso.

Y lo que ahora ha encontrado, con van Suijlekom añadiendose a la fiesta, es que si eliminamos el postulado lo que ocurre es que el Higgs del Pati-Salam no es tal, sino un compuesto del Higgs que ya conocemos.

Para mi, lo más inspirador es la notación con que lo presenta, dado que el hecho de construir el algebra A_{(2)} a partir del conmutador [A_{(1)}, X] es lo que produce este efecto por el que (2) es compuesto de (1). Y me digo, si por otro lado teniamos ya que (1) hacia uso del conmutador [D, X]… ¿No significara esto que en el fondo el Higgs es un compuesto de D, usease, del espectro de fermiones?

Cómo salvé a las teorias supersímetricas (y II)

Esta es la segunda parte de Composites y SUSY, tras el intermedio motivador de la desintegracion del Z0.

Me ha dicho amarashiki que tendria que ser muy didactico para convencerle, o para convencer a alguien. Voy a intentarlo, aunque no se si saldrá bien, ni lo de ser didactico, ni lo de convencer. Con sembrar duda suficiente para que recomendeis esta entrada del blog, me conformo.

Lo habiamos dejado en plantearnos si los escalares susy podian ser compuestos. No significa necesariamente que tengan subestructura real, basta con que tengan una simetria “global de sabor”. ¿La tienen?

Tomemos primero los sleptons, los escalares leptonicos. Como hay tres generaciones de particulas, y cada fermion tiene dos escalares asociados, tendremos en total 24 sleptons: 6 de carga negativa, 6 de carga positiva y 12 neutros.

Si queremos organizarlos como compuestos, tendremos que usar un producto de dos representaciones del mismo grupo de simetria de sabor. Resulta que sí que tenemos un candidato: SU(5), cuya representacion 24 puede obtenerse a partir del producto de las representaciones \bf 5 \times \bar 5. Ello nos da un 24 + 1, y nos quedamos con la 24. La barrita encima del segundo cinco indica que cogemos las “antiparticulas”.

Pero ¿tiene esto las cargas adecuadas?. Podemos ver que sí, acogiendonos a la descomposicion de SU(5) en dos subgrupos de sabor, SU(3) x SU(2), cada uno con una carga electrica fija. Si le damos al SU(3) una carga x y al SU(2) una carga x+1, los distintos pares “particula/antiparticula” iran sumando bien 1, bien -1, bien 0. Se puede ver que la construccion completa monta lo que queriamos, y en particular seis de carga negativa a base de una “particula” del SU(3) combinada con una “antiparticula” del SU(2).

¿No estoy siendo lo suficientemente didactico? Pues bueno, voy a poner una regla mnemotecnica que ayudará bastante: etiquetemos las particulas de carga x con los nombres d,s,b. Y las particulas de carga x+1 con los nombres u,c. De forma que la representacion fundamental de SU(5) la podemos etiquetar con los nombres (d,s,b,u,c), y la construccion del producto es basicamente unir una “particula” de la fundamental con una “antiparticula” de la antifundamental, y luego quitar la diagonal para quedarnos con el 24. Fijaos que obviamente todas las de la diagonal son neutras; de aqui es de donde estamos sacando los s-neutrinos.

Pues eso, ya tenemos los leptones escalares. Vamos con los squarks.

Resulta que funciona el mismo truco. Es rarisimo que funcione, pero justo da la coincidencia de que tenemos tres generaciones y eso ayuda mucho. Total, que vamos a usar para construir los anti-squarks el producto de \bf 5 \times 5, y obviamente usaremos para los squarks el \bf \bar 5 \times \bar 5.

En este caso, tiramos de teoria de grupos y vemos que el producto \bf 5 \times 5 se descompone en \bf \bar {15}+ \bar {10}. Es una molestia, porque solo necesitamos doce anti-squarks de un color dado: seis de carga electrica -2/3, y seis de carga electrica +1/3. Pero podemos ver que los doce se encuentran en la representacion \bf \bar{15}, la cual contiene justo seis de carga 2 x + 1, seis de carga 2 x, y tres de carga 2 x + 2.

Total, que poniendo, como ya os estabais suponiendo todos, x=-1/3, sale lo que queremos: seis anti-squarks de carga +1/3 y seis anti-squarks de carga -2/3.

En resumen, hemos conseguido construir todas las particulas escalares supersimetricas a base de cinco piezas en los compuestos: tres “tipo D”, d,s,b, de carga -1/3 y dos “tipo U”, u,c, de carga +2/3 ¡Caramba, que curioso!

fermionbosoncarga
electrica
color 
electron, muon, neutrinolas 6 parejas de tipo (D,anti-U)-1singlete
neutrinos12 combinaciones de tipo (D,anti-D) o (U,anti-U)0singlete
up, charm, toplas 6 parejas de tipo (anti-D,anti-D)+2/3triplete
down, strange, bottomlas 6 parejas de tipo (anti-D,anti-U)-1/3triplete

De momento, estos d,s,b,u,c son preones, subcomponentes de los squarks. Pero vaya, tiene su delito que tengan que tener la misma carga electrica y carga de color que los quarks que ya conocemos. ¿Nos lo tomamos mas en serio? A ver si va a resultar que los preones de los squarks son los quarks, unidos por la fuerza de color…

pero entonces… ¿no faltaría alguien? En efecto, el quark top no hace de preon. Es como si el quark top no pudiera formar particulas compuestas con los demas quarks. Que cosa tan rara, ello podria ocurrir por ejemplo si la masa del top fuera superior a la de la W y muchisimo mas alta que la escala de QCD, de forma que se desintegrara antes de poder formar enlaces. ¡Anda, si es así! Aqui hay ademas un detalle interesante, en cierto modo esto solo funciona con tres generaciones. Con mas de tres, podriamos por supuesto seguir haciendo el mismo truco pero tendriamos que poner generaciones enteras en la masa del top, o mayor, y no habria manera de sacar un numero aceptable de neutrinos.

pero entonces, ¡wait! los preones de los sleptons… ¿decimos que son pares quark-antiquark, y su composicion incluye unirlos con la fuerza de color? ¿Eso son los mesones, no? Pues vaya, para que este lio fuera cierto, si la supersimetria esta solo debilmente rota, los mesones tendrian que tener la misma masa que los leptones escalares.

Pues o mucho ha cambiado la cosa desde que escribí los articulos (todo esto lo fuí contando en hep-ph/0512065, 0710.1526 y 0910.4793), o resulta que sí que la tienen. Ademas si bien es posible justificar que el lepton tau pesa mas o menos lo mismo que los mesones con quarks de segunda o tercera generacion, la cercania de la masa entre el muon y el pion no tiene ninguna justificacion conocida. Y ahi esta.

Vamos, que podemos,
1) asumir que los squarks y sleptons tienen una simetria de sabor compatible con el ser compuestos.
Y tirando a ser un pelin mas heterodoxos,
2) observar que los preones de los compuestos se parecen asombrosamente a los propios quarks, y que las masas que conocemos que forman los quarks en la interacción fuerte, los mesones, estan en consonancia con una ruptura suave de la supersimetria.
y 3) sospechar que hemos encontrado el famoso requisito de bootstrap que se postulo en el equipo de Chew en los sesenta, en el que para acabar este sinvivir de ir encontrando preones de preones y subcomponentes de subcomponentes, en algun planteamiento todas las particulas debian estar compuestas de ellas mismas. No se encontró entonces una solución no trivial, pero ni se sabia cuantas generaciones habia, ni se tenia la herramienta de la supersimetria.

En resumen, SUSY esta salvada, con los resultados del LHC, porque no hay que buscar nuevos squarks ni sleptons. Y claro, no hay Nobeles para el descubrimiento de la primera particula supersimetrica… porque ya se dieron a lo descubierto en los años cincuenta y han estado ahi delante de nuestras narices todo este tiempo.

Supersimetria y Compuestos (I)

Voy a adelantarme en el revival de mis articulos antiguos para entrar en cómo rescaté la supersimetria en el 2005. O, más modestamente, como podría rescatarse. Pero por mantener el tono historicista, empezaré por la motivación: el rechazo de la idea, dominante desde fines de los setenta, de que todo ocurre a la escala de Gran Unificación y en los aceleradores de ahora se ve sólo la variacion de constantes que trae el grupo de renormalizacion al ir descendiendo la energia.

Ojo, esta idea, la de bajar desde GUT, tiene al menos un exito parcial: la masa del electron, que resulta estar en el rango adecuado, usando la cte de estructura fina para descender desde la masa de Planck. Esto lo explica Polchinski en su segundo tomo, aunque hay heterodoxos que han preferido otras interpretaciones (estoy pensando en Nottale, claro).

El caso es que en el 2005, enredando en los foros, empezamos a ver que habia bastantes formas en las que las cantidades a baja energia encajaban. Algunas serian simple coincidencias, y otras algunas de esas sumas globales de diagramas que ya en tiempos medio enloquecieron a Cvitanovic cuando calculaba g-2. Pero para ser coincidencias, habia demasiadas.

Justo mientras estaba leyendo sobre Koide, y por enredar con las graficas de MacGregor y familia, me habia llamado la atencion que la amplitud de decay de la Z0 se alineaba con la del resto de particulas neutras…

… lo que es milagroso porque obviamente los piones son compuestos, y la Z0 es uno de nuestros bosones gauge elementales. Pero con este detalle, que reporté en hep-ph/0507144 y hep-ph/0603145,ya tenia la mosca detras de la oreja respecto a la “compositeness”.

Y claro, los articulos de Koide del 81 se basaban en esto, en compuestos. Lo que no era demasiado satisfactorio en el 2005. La siguiente pieza era que habia estado pensando en la estabilidad del pion cuando su masa es exactamente igual que la del muon, y en la extraña coincidencia de que una masa “de Higgs-Yukawa” sea casi igual que una masa “de QCD”. Asi que en algun momento se fusionaron estas ideas, y me planteé: puede ser que la formula de Koide sea solo un indicio que se aprecia mejor en los leptones que en los mesones, y que en primer orden realmente la masa del pion sea como la del muon y lo mismo ocurra con el tau y algun otro meson… de manera que la explicacion de Koide no necesitaria que los quarks y leptones fueran compuestos, sino simplemente que fueran supersimetricos a compuestos.

Lo que significa que ya hemos encontrado los sleptons y squarks: son los mesones y diquarks.