Thinking about a major puzzle in the NCG approach to the standard model, I remember that sci.physics.research, via Baez’ weeks, was very fond of triality (in the way of Evans?) to justify why some dimensions allow supersymmetry. And this pivots over SO(8), for which I asked a couple of abusive questions in mathoverflow:

Does ??(32)???8×?8 relate to some group theoretical fact?

Why SU(3) is not equal to SO(5)?

The second one included a nice ascii sequence of dynkin diagrams, using

o====o  SO(5), isometries of the sphere S4
o----o  SU(3) are the isometries of CP2
o    o  SU(2)xSU(2), isometries of  S2xS2. Also SO(4), so isometries of S3

I compared

        o                  o                         o
       /                                        
      /                                          
o----o    SO(8)    o----o     SU(3)xSO(4)    o====o     SO(5)xSO(4)
      \
       \
        o                  o                         o    

and I wonder if I should add Pati-Salam

             o             
                                             
                                               
o----o----o     SU(4)xSU(2)xSU(2)     
     
      
             o                

This is another use of square roots in the spirit of the eighties… but a lot more recent, from Bjorken 2013. I have seen some recent variations in Berglund-Hubsch-Minic 2023. Actually I found this while looking for Hubsch’s textbook. They seem also to fanzy the idea of a Higgs with two vacuui, one of them at Planck scale.

Twitter going all-in in speculative physics, it is a good excuse to mention a friend’s blog that is echoing my -now some ten or fifteen years old- speculative ruminations.

Basically it was the idea that string theory was right until, say, 1974…

The papers at that time were still considering supersymmetry between mesons and fermions, or gluons and quarks.

• https://inspirehep.net/literature/68389 Embryonic Dual Model for Pions and Fermions Charles B. Thorn(UC, Berkeley) 1971
• https://inspirehep.net/literature/75918 Dual quark-gluon model of hadrons J.H. Schwarz(Princeton U.) 1971
• https://inspirehep.net/literature/74339 Fermion meson vertices in dual theories Edward Corrigan(Cambridge U., DAMTP and CERN), David I. Olive(Cambridge U., DAMTP and CERN) Oct, 1972
• https://inspirehep.net/literature/97031 A potential approach to spinor quarks Y.M. Cho(Chicago U., EFI) 1974
• https://inspirehep.net/literature/838 An Introduction to the Theory of Dual Models and Strings Joel Scherk(New York U.) Mar, 1974
• https://inspirehep.net/literature/1899 Dual Field Theory of Quarks and Gluons Joel Scherk(Caltech), John H. Schwarz(Caltech) Jan, 1975
• https://inspirehep.net/literature/116121 Models with Quark Confinement and Linear Trajectories Without Parity Doubling S.Y. Chu(UC, Riverside), P. Kaus(UC, Riverside) 1976

Any of these papers could have predicted three and only three generations by asking 1) a split between heavy and light quarks and 2) that gluonic strings only can be terminated by light quarks. This pair of postulates has unique solution within the standard model: 5+1 quarks

In fact the 1975 paper is already going out of sync because it aims for the 10th dimension and then decides that whatever the susy particles are, they are not the ones they have. Nobody notices that the muon and tau have the same mass that corresponding same charge mesons?

So the big dogma is “SUSY is fully broken at the GeV scale” while really we have three susy multiplets only mildly broken. Just happens that the scalars are mesons and diquarks.

Now, about the sBootstrap proposal, which are the problems? Basically:

• 3 extra scalar squarks of charge +4/3. Not six, just three.
• no explanation of why fermions are point like while bosons are extended, at QCD scale.

But even without a cure, the sBootstrap should made for a nice startpoint in the nuclear or infrared scale, as one could start from three perfect massive supermultiplets, break supersymmetry to have a zero mass level for electron and up, then do second order perturbations plus the neutrino see-saw to recover the actual mass structure. Of course this is not possible in the current conception of the yukawa couplings of the standard model because they are seen as running down from an UV unification.

A consideration here is if the “IR theory” to break is just SU(3)xU(1) or if there are some remnants of electroweak. On one side is very tempting to send W and Z0 to infinity mass. On the other hand, it would be interesting to consider for instance what combinations of charged scalars can decay to neutral scalars, and the same for diquarks. It is very tempting to think that we have b(c+u) and b(c-u), then c(s+d) and c(s-d) and then u(s+d) and u(s-d), so that only one combination can feel the chiral interaction. And it could be related to the problem that all our composites are pseudoscalars, while for susy we need half of them scalars, half pseudoscalars.

Con la idea de interpretar el espectro del modelo estándar como una ruptura parcial de supersimetría, pregunté el otro dia en physics forums si realmente había o no supersimetría en mecánica cuántica, y naturalmente a los pocos posts me devolvieron la pelota recordandome todo lo que se había hecho en los años 80 y 90

Lo que me recordó a su vez que yo deje sin hacer el investigar supersimetría en la matriz de scattering de potenciales de soporte en un solo punto. Las interacciones de contacto en mecanica cuantica son un tema muy majo para introduccion a la investigación y por lo tanto entra en la categoria de cosas que se repiten cada diez años. La ultima version que veo es Heriban-Tusek.

El tema de SUSY QM atrajo mucho interes en los 80, como todo lo que construia Witten. En particular un preprint de Luis Joaquin Boya llamaba la atencion sobre la supersimetria entre el potencial delta atractivo y el repulsivo (estamos hablando de mecanica cuantica no relativista en una dimension)

Eso llevo a algunos otros colaboradores de Luis Joaquín a revisar posibles familias de potenciales que se podian conectar via supersimetria, y a Casahorran y a Esteve a interesarse por los casos en los que se pudiera ir más allá de la diferencia en el estado del vacio, explotando el dominio de los operadores, de forma que podian intentar que tan solo la mitad de los autoestados de un potencial fueran transvasables al otro. Yo creo que esta linea la empezo Casahorran con S. Nam en sus colaboraciones en el MIT, usando la idea de emplear estados de energia negativa (para poder tener mas juego en los limites asintoticos y la normalización), y luego la continuó en

    CASAHORRÁN, J. (1996). A NEW SUPERSYMMETRIC VERSION OF THE ABRAHAM-MOSES METHOD FOR SYMMETRIC POTENTIALS. Reviews in Mathematical Physics, 8(5), 655–668.         doi:10.1142/S0129055X96000226

y una serie de papers hasta llegar a (https://arxiv.org/abs/math-ph/9810022v1) una epoca en la que se extinguia el interes por el tema. Para entonces Nam ya estaba dedicandose a supersimetria en aplicaciones más cercanas a particulas, o a veces a teoria M y sus aplicaciones:

Volviendo a mi parte… Con LJ, Casahorran y Esteve hicieron el preprint 91.36, pero no entraron en la cuestion de las deltas porque lamentablemente eso me lo dejaron para mi tesis. Yo examiné cómo variaba la matriz de scattering ante cambios de escala y por tanto determiné todos los potenciales “de contacto” o “con soporte en un punto” que aparecian como lineas de renormalizacion en el sentido de Wilson-Kogut (lo que nos permitió localizar algun error en la nomenclatura de aquella epoca respecto a los “potenciales delta prima”). Por otro lado participé en la clasificación de familias de potenciales que tenian un significado geométrico. Pero no termine de estudiar la supersimetría los distintos casos con soporte en un punto (sección 4.4 de mi tesis), ni como esto se visualizaría en el espacio de teorías a la hora de ir aplicando transformaciones de escala y renormalización. No recuerdo ni siquiera los detalles de la seccion 4.4, posiblemente en aquel entonces simplemente estabamos intentando extender los resultados previos que Boya publicó con Sudarshan en 1994.

Dado que los potenciales de contacto tambien se clasifican via extensiones autoadjuntas que controlan los problemas de dominio de los operadores, es de esperar que Esteve y Casahorran hubieran pensado que los casos de ruptura de supersimetria que ellos estaban clasificando pudieran extenderse con los que ya estaba estudiando, pero por otro lado era una cosa bastante hipotetica dado que estamos hablando de potenciales donde no tienes un espectro discreto infinito con el que jugar. Asi que supongo que al ver que yo no encontraba nada de interes tampoco tiraron ellos para ese lado, pero tampoco llegaron a mencionarme explicitamente que lo investigaramos. O no me di cuenta. La cuestion de la conexion con extensiones autoadjuntas ha sido un tema recurrente en mi antiguo departamento, por ejemplo esta visita reciente en 2015 donde se sugiere una posible conexión general con ruptura espontanea de simetria. Tambien https://arxiv.org/abs/hep-th/0403048, https://arxiv.org/abs/2005.09931 y en general la tesis y posterior trabajo de Muñoz-Castaneda.

Es tambien curioso que aunque sabiamos de la relacion entre las condiciones de contorno de un segmento y las de un soporte puntal en la linea no hicieramos mas enfasis en las posibles relaciones con condiciones de contorno de una teoria de cuerdas en un limite no relativista, donde no deja de ser una teoria en 1+1.

Vamos a asumir que la \(z_0\) y las \(z_n\) del ansatz de Koide pueden tener valores complejos. Por evitarnos un parametro, tomemos que \(z_0 z_0^*\) es uno. Podemos poner

$$
z_n= \cos(\tau)\sqrt{2}\cos\left(\frac{2\pi n}{3} + \delta\right) + i\sin(\tau)\sqrt{2}\cos\left(\frac{2\pi n}{3} + \mu\right)
$$

de forma que siguen sumando cero y todavia se cumple que la suma de los \(z_n z_n^*\) es \( 3 z_0 z_0^*\). Pero nos hemos comido un montón de fases.

Vamos a ver donde llegamos: primero simplificamos el coseno de las sumas, y añadimos el termino \(z_0\) con una nueva fase r:

$$
v_1 = c_r + \sqrt{2}c_\tau\left(-\frac{1}{2}c_\delta – \frac{\sqrt{3}}{2}s_\delta\right) + i s_r + i\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}c_\mu – \frac{\sqrt{3}}{2}s_\mu\right)s_\tau
$$
$$
v_2 = c_r + \sqrt{2}c_\tau\left(-\frac{1}{2}c_\delta + \frac{\sqrt{3}}{2}s_\delta\right) + i s_r + i\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}c_\mu + \frac{\sqrt{3}}{2}s_\mu\right)s_\tau
$$
$$
v_3 = c_r + \sqrt{2}c_\delta c_\tau + i s_r + i\sqrt{2}c_\mu s_\tau
$$

Y multiplicando por el conjugado obtenemos las masas \( m_n = v_n v_n^*\). Se puede comprobar que todavía es cierto que la suma de las tres masas es exactamente seis, cuando el valor absoluto de \(z_0\) es 1. Esto ocurre via el resultado intermedio

$$
m_{\text{sum}} = 3 + 3 c_\delta^2 c_\tau^2 + 3 c_\tau^2 s_\delta^2 + 3 c_\mu^2 s_\tau^2 + 3 s_\mu^2 s_\tau^2
$$

El rango de posibles valores para las masas se puede deducir examinando
$$
m_3 = 1 + 2 \sqrt{2}c_\delta c_\tau c_r + 2 c_\delta^2 c_\tau^2 + 2 \sqrt{2} c_\mu s_\tau s_r + 2 c_\mu^2 s_\tau^2
$$

$$
m_\text{MAX} = 3 + 2 \sqrt{2} \text{max}(|c_\tau c_r| + |s_\tau s_r|)
$$

También es todavía fácil determinar los casos donde una masa es cero porque deben anularse por separado la parte real y la parte imaginaria. Por ejemplo si queremos que \( m_3 \) sea cero necesitamos imponer por separado:

$$ c_r = – \sqrt{2}c_\delta c_\tau $$ y $$ s_r = -\sqrt{2}c_\mu s_\tau$$

Por lo cual ademas \(1 = 2 (c_\delta^2 c_\tau^2+c_\mu^2 s_\tau^2)\). Podemos aplicar todo ello para las masas 1 y 2, la substitucion nos deja ya con.

$$
v_1 = \sqrt{2}c_\tau\left(-\frac{3}{2}c_\delta – \frac{\sqrt{3}}{2}s_\delta\right) + i\sqrt{2}\left(-\frac{3}{2}c_\mu – \frac{\sqrt{3}}{2}s_\mu\right)s_\tau
$$

$$
v_2 = \sqrt{2}c_\tau\left(-\frac{3}{2}c_\delta + \frac{\sqrt{3}}{2}s_\delta\right) + i\sqrt{2}\left(-\frac{3}{2}c_\mu + \frac{\sqrt{3}}{2}s_\mu\right)s_\tau
$$

$$
v_3 = 0
$$

So

$$m_1= \frac{1}{2} * ( 9 c_\delta^2 c_\tau^2 + 6 \sqrt{3} c_\delta s_\delta c_\tau^2 + 3 s_\delta^2 c_\tau^2 + 9 c_\mu^2 s_\tau^2 + 6 \sqrt{3} c_\mu s_\mu s_\tau^2 + 3 s_\mu^2 s_\tau^2 )$$

$$m_2= \frac{1}{2} * ( 9 c_\delta^2 c_\tau^2 – 6 \sqrt{3} c_\delta s_\delta c_\tau^2 + 3 s_\delta^2 c_\tau^2 + 9 c_\mu^2 s_\tau^2 – 6 \sqrt{3} c_\mu s_\mu s_\tau^2 + 3 s_\mu^2 s_\tau^2 )$$

La suma de las tres masas es

$$m_1+m_2+m_3=3 ( 3 c_\delta^2 c_\tau^2 + s_\delta^2 c_\tau^2 + 3 c_\mu^2 s_\tau^2 + s_\mu^2 s_\tau^2 ) $$ lo que nos indica que los terminos en el parentesis deberian sumar 2… De hecho aplicando la igualdad adicional, vemos que

$$m_1+m_2+m_3=3 ( 1 + c_\delta^2 c_\tau^2 + s_\delta^2 c_\tau^2 + c_\mu^2 s_\tau^2 + s_\mu^2 s_\tau^2 ) = 3 (1 + ( c_\tau^2 + s_\tau^2))= 6$$

Asi que por ese lado todo bien. El problema es que ahora hay mas libertad que en el caso real. Tenemos:

$$m_1=3 * (\sqrt{3} c_\delta s_\delta c_\tau^2 +\sqrt{3} c_\mu s_\mu s_\tau^2 + 1 )$$

$$m_2= 3 * ( -\sqrt{3} c_\delta s_\delta c_\tau^2 -\sqrt{3} c_\mu s_\mu s_\tau^2 + 1 )$$

$$2 (c_\delta^2 c_\tau^2+c_\mu^2 s_\tau^2 )=1$$

O, en terminos de angulos dobles:

$$m_1=3/2 * (\sqrt{3} s_{2\delta} c_\tau^2 +\sqrt{3} s_{2 \mu} s_\tau^2 + 2 )$$

$$m_2= 3/2 * ( -\sqrt{3} s_{2\delta} c_\tau^2 -\sqrt{3} s_{2\mu} s_\tau^2 + 2 )$$

$$c_{2\delta} c_\tau^2+ c_{2\mu} s_\tau^2 =0$$

y ahora podemos estudiar en qué condiciones, en funcion de \(\delta\) y \(\mu\), se garantiza que todos los senos y cosenos cuadrado esten entre cero y uno.

Las zonas excluidas son aquellas en las que la hipotesis de partida, \(m_3 = 0\), es imposible. Por ejemplo si tanto \(\delta\) como \(\mu\) son cero, entonces

$$
v_3 = c_r + \sqrt{2} c_\tau + i s_r + i\sqrt{2} s_\tau
$$

$$
m_3 = 3 + 2 \sqrt 2 ( c_r c_\tau + s_r s_\tau) > 0.17157…
$$

Obsérvese también que según en qué cuadrante estén \(\delta\) y \(\mu\) puede llegarse a obtener una tupla (0, m, m), algo que no podemos lograr con la ecuación de Koide.