Estamos acostumbrados a la cuantización con su espacio de fase (x,p) y sus reglas de conmutación para posición y momento, y por ello a la hora de discutir sus fundamentos no parece lógico irse mas alla del formalismo hamiltoniano clásico; o como mucho de los principios de minima accion. Pero incluso esos formalismos tuvieron sus origenes, y tirando para atras me encuentro este dibujo primitivo de un rectangulo producto de \(\Delta x\) y \(\Delta p\):
Veamoslo: la linea RQ es, se nos dice en el texto, proporcional a la fuerza y al intervalo de tiempo al cuadrado, y por tanto, dado que la fuerza aplicada en el intervalo de tiempo genera la variación de momento, lo es tambien a este último.
\(\overline {RQ} \sim F (\Delta t)^2 \sim (F\Delta t)\Delta t\sim \Delta p \Delta t\)
Por otro lado, la linea RP (y tambien la PQ, claro, en el límite) es el intervalo espacial recorrido \(\Delta x\), asi que el area de la «figura indefinitè parva QRPT» es proporcional al producto de las variaciones de posicion y momento,
\({\bar {\overline {QRPT}}\over \Delta t} \sim \Delta p \Delta x\)
Por tanto, y quizas un pelin anacronicamente, podemos decir que la primera pieza de la mecanica cuantica ya estaba dibujada de la mano de Newton en 1684.
Naturalmente, estamos aun en mecanica clasica y esperamos que el area QRPT tienda a cero mas rapidamente que \(\Delta t\). lo que ocurre por obvia y gracia de la aceleración centripeta y, en ultima instancia, de la parabola de Galileo. Aunque en el uso inmediato de la figura Newton no tiene que preocuparse de ello, porque el intervalo de tiempo, ley de Kepler mediando, es proporcional al area barrida, y por ello puede usar el producto de SP y QT en sus consideraciones.
🙂
Un tema relacionado se discute en el artículo arxiv: http://arxiv.org/abs/gr-qc/0404086