Reticulos contra categorias

La gente de Yo Fui a EGB abria su segundo libro con esta foto de una clase de matematicas:

 

El mayor problema de esta foto no es el que el profesor este fumando, y desde luego no lo es el que este enseñando teoria de conjuntos. Pero ay, esa etiqueta que parece estar calculando el cardinal de cada conjunto de una union…

Ciertamente la union e interseccion de conjuntos, con sus diagramas y de notaciones, era uno de los elementos importantes que añadió la nueva matematica al curriculum de la educación obligatoria. Es una introducción básica a la lógica y al álgebra de Boole, y junto con la nocion de subconjunto permite acostumbrarse a manejar la estructura algebraica de “reticula”. Las dos operaciones de union e interseccion son distributivas y duales entre si. Ademas, dado un conjunto total hay una nocion bastante intuitiva de “complementario” o “negacion”; es menos natural introducirla en el otro “reticulo ordenado” que se aprende en esa epoca, el de factores de un numero. En este último las operaciones correspondientes son el maximo comun divisor y el minimo comun multiplo, pero pocos libros se atreveran a escribir (a v b) o (a ^ b). Como mucho, puedes decir que estas haciendo Diagramas de Venn:

En fin, el problema es que en enseñanza primaria tienes que aprender a sumar y multiplicar, y a justificarlo con cierto rigor o al menos estructura matematica, y el algebra de uniones e intersecciones no nos hace la tarea. El cardinal de la union no es la suma de los cardinales salvo si los conjuntos son disjuntos, y el cardinal de la interseccion no se parece en nada al cardinal del producto.

No arreglamos nada si utilizamos la descripcion tradicional de los numeros naturales porque unico que se define es la manera de construir el siquiente numero, Sucesor(x). En la construccion de von Neuman se une al conjunto x el elemento {x}. En la de Zermelo, simplemente se construye un conjunto de un solo elemento, {x}. Asi que con esta ultima la union de conjuntos ni siquiera es un representate de un número natural, mientras que con la de v. Neumann la union y la interseccion son simplemente las operaciones de encontrar el maximo y el minimo. La unica manera de sumar m + n es comenzar desde m y operar n veces -esto se puede construir recursivamente- el calculo del siguiente. Lo que ciertamente es una de las maneras en la que los niños aprenden a sumar, pero poco más merito tiene.

Hay solucion para construir rigurosamente la union disjunta, pero muy muy clara no es. Primero recurrimos a la nocion de isomorfismo (¿tercero de EGB?) para poder considerar isomorfos todos los conjuntos con el mismo cardinal -de hecho, esta es a veces la definicion de cardinal- y encontrar representantes en cada clase cuya union podamos garantizar que es disjunta. Lo mas simple es usar dos elementos arbitrarios 0, 1 que no para contruir pares (a, 0) a partir del primer conjunto y pares (b,1) a partir del segundo, y unirlos.

Curiosamente, ¡esta operacion en la categoria de conjuntos es la dual al producto cartesiano! ¿Significa esto que habria habido que rematar las nociones de correspondencia y coordinabilidad que se introducian en tercero, y definir la nocion de categoria? En la pagina de la wikiuniversity, Avery Andrews nos dice:

And of course the motivation for the use of  to represent co-products is that for finite sets, if  has  members and    has , then   has  members.

All this might be taken as pointing to one of the major basic failures of the ‘new math’ in the mid-to-late 20th century. I (AA) recall being told in perhaps third grade about sets and how they were the basis for everything, but they didn’t seem to be able to do a decent job of explaining addition, due to the problem of what if the two sets being added overlapped? Third graders are, I believe, not generally capable of understanding disjoint unions, co-products, and the benefits of regarding isomorphic objects as identical (and I’d have my doubts about the teachers), so for people at that level, trying to present sets as the basis for everything is just a distraction from actually learning anything about numbers.

Una pregunta mas misteriosa: dado que parece sencillo conectar los conceptos de union disjunta y union a secas, ¿hay alguna forma de conectar los conceptos de producto cartesiano y de interseccion? Un estadistico miraria si existe una diagonal o si existen “correlaciones” en la tabla.

Por cierto, ojito a la ultima pregunta de la pizarra, introduciendo la nocion de exponencial.

 

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