Very drafty, hoy. Thinking aloud y todo eso.
Ok, empezemos buscando en SO(9) un U(1) que se parezca a B-L.
La irrep 9 descompone a SU(4) x SU(2):
9 —> (1,3)+(6,1)
Y el sextete de SU(4) descompone a SU(3)xU(1)
(3)(-2)+(Overscript[3, _])(2)
Por otro lado, tambien podriamos descomponer el triplete de SU(2), simplemente a un U(1):
((2))+((0))+((-2))
No estoy seguro de que realmente tengan la misma normalizacion, asi que voy a poner un factor “k” entre la carga U(1) que viene del triplete y la que viene del sextete). Con ello, tendriamos que los nueve elementos de la fundamental de SO(9) tendrian carga
2k, 2, 2, 2, 0, -2, -2, -2 -2k
La fundamental de SU(4) descompone en (1)(-3)+(3)(1). Lo tradicional es normalizar de forma que el triplete de SU(3) tenga numero B-L igual a 1/3. Asi que nuestros nueve elementos en la normalizacion usual (posiblemente habria sido mejor idea dividir entre otro factor dos, ademas) serian:
2k/3, 2/3, 2/3, 2/3, 0, -2/3, -2/3, -2/3, -2k/3
Ahora, vamos a construir un 84 tomando todas las posibles combinaciones de tres elementos, y asumiendo que este numero es aditivo. Nos sale una tabla:
| abb | 2k/3+4/3 | 3 | (15,3) |
| abc | 2k/3+2/3 | 3 | (6,3) |
| abd | 2k/3 | 9 | (15,3) |
| bbb | 2 | 1 | (10,1)+(10,1) |
| acd | 2k/3-2/3 | 3 | (6,3) |
| bbc | 4/3 | 3 | (15,3) |
| bbd | 2/3 | 9 | (10,1)+(10,1) |
| abe | 2/3 | 3 | (6,3) |
| add | 2k/3-4/3 | 3 | (15,3) |
| bcd | 0 | 9 | (15,3) |
| ace | 0 | 1 | (1,1) |
| bbe | -2k/3+4/3 | 3 | (15,3) |
| ade | -2/3 | 3 | (6,3) |
| bdd | -2/3 | 9 | (10,1)+(10,1) |
| cdd | -4/3 | 3 | (15,3) |
| bce | -2k/3+2/3 | 3 | (6,3) |
| ddd | -2 | 1 | (10,1)+(10,1) |
| bde | -2k/3 | 9 | (15,3) |
| cde | -2k/3-2/3 | 3 | (6,3) |
| dde | -2k/3-4/3 | 3 | (15,3) |
| total: | 84 | -->SU(4)xSU(2) |
|---|
Que en principio es bastante satisfactoria. Por ejemplo, con k=1 podriamos separar los elementos de carga entera de los de carga fraccionaria y el numero de componentes seria de 24 + 60, consistente con tres generaciones de leptones y cinco sabores de quarks, esto es, excluyendo el quark top. Ello hace que el tensor totalmente antisimetrico de D=11 SUGRA sea muy apetecible como un mecanismo para proteger la masa de los fermiones del modelo estandar. Podria preocupar que SO(9) no tenga representaciones quirales, pero estamos jugando con color, carga electrica y numeros barionico y leptonico, que no necesitan que el grupo tenga representaciones complejas; aun asi el propio termino de masas no deja de ser algo que va de una quiralidad a la otra y se hace raro, pero de momento dejamos aparcada esa cuestion.
Un poco mas preocupante es que la descomposicion directa de la 84 de SO(9) no hace tan visible esta tabla:
84 = (1, 1) + (6, 3) + (10, 1) + (10, 1) + (15, 3)
¿como se reunen los elementos anteriores para formar los decupletes y hasta el triplete de quinces? La dependencia que hemos dejado en k no la verian en esta otra descompsicion ni los singletes de SU(2) ni el elemento central de los dos tripletes, eso es, solo la verian 12 componetes de (6,3) y 30 componentes de (15,3), un total de 42. .. que en efecto es el numero de componentes que dependen de k, pero siendo que es justo la mitad, no queda claro si ha sido solo casualidad.
Fijandonos en los singletes podemos hacer mas asignaciones: (1,1) ha de ser ace, que no ve el SU(4), y los decupletes (10,1) y (bar10, 1) podrian ser los elementos compuestos excusivamente de b y d, por tanto ciegos a SU(2). De hecho suman 20: bbb, bbd, ddb,ddd.
Nos quedan pues otros 21, tambien en (6,3)+(15,3), que serian bbc 3 , abe 3 , bcd 9, cdd 3 , ade 3. El bcd esta forzosamente en (15,3).
Veamos si el siguiente paso de los branching aclara las cosas. Los decupletes, al caer de SU(4) a SU(3)xU(1), se dividen en (1)(?6) + (3)(?2) + (6)(2). El sextete cae a (3)(?2) + (3)(2), y el 15 a (1)(0) + (3)(4) + (3)(?4) + (8)(0). Las cargas parecen encajar si ponemos abe y ade en el (6,3) y dejamos en (15,3) los doblemente cargados bbc y cdd junto con bcd.
En los decupletes, el asunto se complica, y parece que aqui lo de jugar con representacion y conjugada nos hace una mala pasada. Pareciera que podemos poner bbb y ddd a las cargas +6,-6…. pero de alguna manera bbd y dbb estarian a caballo entre las dos representaciones.
Tambien me pregunto si en realidad es obligatorio hacer todo el paseillo de descomposicion o basta con asignar a los nueve elementos una carga y ver que sale. Sobre todo por asignar cargas asimetricas, dado que otra cosa que me interesa es dejar protegido al top pero desprotegidos a los neutrinos…
Me explico: en Teoria M (¡hala, ya salio!) tenemos realmente dos 84 que son duales entre si. Uno es el campo de Ramond de la M2-brana y otro, tensor antisimetrico de seis componentes, seria el campo de la M5-brana. Estaria bien que la operacion de dualizar intercambiara la proteccion “de masa de Dirac” por la proteccion “de masa de Majorana”. Esta ultima no es en el fondo mas que dar carga no nula a las particulas, para que no puedan ser iguales a su antiparticula.
En este segundo caso en vez de la division 24 + 60 deberiamos encontrar una 12 + 72, con solo los neutrinos desprotegidos, o incluso una 6+78, con solo los neutrinos “right” desprotegidos.
===========================A partir de aqui son notas (todavia más) sueltas
so in su3xsu2(u1):
(1,1) (0?)
(3,3)(?2) + (-3,3)(2)
(1,1)(?6) + (3,1)(?2) + (6,1)(2)
(1,1)(?6) + (3,1)(?2) + (6,1)(2) o signo opuesto?
(1,3)(0) + (3,3)(4) + (-3,3)(?4) + (8,3)(0)
de SU(3)…
3 octetes
2 sextetes.
14 tripletes
6 singletes
so that 6+143+26+3*8 = 6+ 42 + 12 + 24 =
por abs(carga??? O B-L number?):
0: 28 (1,1), (1,3), (8,3)
2: 36 (3,3), (-3,3) (3,1) (6,1) (-?3,1) (-?6,1)
4: 18 (3,3), (3,-3)
6: 2 (1,1), (1,1)
buscamos 84 = 12 + 72 vs 84 = 24 + 60 (y 60=24+36)
k=0 divide en 12 + 72, claro. Lo mismo k=3 etc.
k=2 divide en 24 + 60 de otra manera
k=1/2 divide en 18 + 66 que podria ser mas apropiado para majorana.
en general tenemos fijos 12 + 30 y variando con k tenemos 42
Por cierto, hay un paquetillo en mathematica llamado << LieART` que si bien no permite mostrar representaciones explicitas de los grupos de matrices, ni encadenar descomposiciones, al menos viene bien para generar las que no salen en la tabla del Slansky.
Ademas de las observaciones de Ramond sobre 84, es interesante echarles un vistazo a las de Boya en math-ph/0409077. pdf y similares. En particular Luis Joaquin nota que
84=120-36 = 105-21
y argumenta que existe una variedad M84 que aparece tanto en la construccion Spin(7)—>SO(15)—-> M84 (la segunda resta) como en Spin(9)—->SO(16)—–>M84 (la primera).
SO(7) tiene tambien otro papel por cierta coincidencia: Uno podria dividir un tensor antisimetrico Aijk de 11 dimensiones (no de 9, ojo) en 4+7 haciendo que el primer indice tome valores en 1..4 y el resto en las otras siete, de 5 a 11. Tal tensor tambien tendria pues 84 componentes, aunque parecen ser mas bien cuatro copias de la 21 de SO(7).