Aunque habia etiquetado como “wiki” la entrada sobre Kaluza-Klein y en teoria tendria simplemente que ampliarla, puede que sea mejor contarlo desde otra perspectiva. Y vamos, asi pongo una nueva entrada en el blog.
Si habeis pensado ya un rato sobre Kaluza Klein, puede que hayais caido ya en que las dimensiones extra no son las del grupo de Lie. Los ejemplos de U(1) y de \(U(1)^n\), que es el toro n-dimensional, son engañosos. En cuando uno se plantea que las isometrias de la n-esfera son las del grupo SO(n+1), se ve que la cosa no encaja y que en realidad el espacio que hace falta suele ser bastante más pequeño, en dimensiones, que el grupo que queremos obtener.
En particular, el su(2) x su(2) del L-R Pati-Salam es de los obvios, porque sabemos que su algebra es equivalente a la de so(4), y por tanto la teoria de Kaluza Klein correspondiente va a ser solo la de la esfera S3.
Y en cuando al grupo SU(4) de lepton+color, pues resulta que tambien hay una equivalencia de algebras, es igual a la de so(6), y por tanto basta con la esfera S5
Conclusion: Para conseguir un espacio con isometrias “Pati-Salam” SU(4)xSU(2)xSU(2), nos basta con 8 dimensiones extra: S5xS3.
Naturalmente, para el grupo GUT SO(10) necesitariamos 9 dimensiones extra: las de S9. Y para el grupo SU(5) podriamos aplicar una regla general con los grupos de isometrias de CPn: para CP2, sus isometrias son SU(3); para CP4, sus isometrias son SU(5).
Por cierto, fijaos que si en vez de lepton-color empleamos \(U(1)_{B-L} \times SU(3)\) no cambiaria la cosa de dimensiones, seria S1xCP2 en vez de S5.
Asi que ya tenemos un grupo GUT en 9 dimensiones extra, y dos de los otros en tan solo 8. ¿Tenemos algo interesante en 7? Pues pocas cosas, si a la clasificacion de metricas de Einstein en variedades 7-dimensionales compactas nos atenemos, pero entre ellas una que seguramente Witten encontró pensando en estos ejemplos: el cociente de la de Pati-Salam, S5xS3, por una accion de U(1) que produzca una variedad de 7 dimensiones, va a tener siempre al menos las simetrias del modelo estandar, SU(3)xSU(2)xU(1).
Por otro lado, la maxima supergravedad no puede tener mas de siete dimensiones extra; ni ocho ni nueve. Y de otra parte, para conseguir las cargas y quiralidades del modelo estandar sabemos que siete no chuta y necesitamos al menos construir fermiones en ocho. Juntando las dos cosas, se puede intuir que algo raro va a haber en la ruptura de Pati-Salam a SM, y esa rareza, que desconocemos, debe ser la causa de que los bosones de esa ruptura, ni su gauge ni sus higgses, no aparezcan por ningun lado; no pueden jugar la misma partida que el resto de las interacciones gauge, porque no podemos pasar de siete dimensiones.