He hablado mucho de Kaluza Klein en otros sitios, tanto en comentarios de otros blogs como en foros, asi que a los que me conocen las entradas en esta sección wiki-like les van a resultar un poco repetitivas.
Lo más sorprendente de esta teoria es como se enterró despues de renacer. Recordemos que en los 70 habian vuelto a plantearse las dimensiones extras por dos motivos: por el hecho de que eran necesarias en cuerdas y supercuerdas, y porque se descubrio que las supergravedades en 4D podian verse como compactificaciones de Kaluza Klein sencillas, en toros y hasta de maneras mas crudas, de la supergravedad de máxima dimension posible, la de 11D. Y naturalmente los de cuerdas enseguida probaron que las sugra en 10D eran limites de la teoria de cuerdas, así que todos contentos. En eso llega el heterodoxo Witten en el 81, y dice, “pero vamos a ver, lo que queremos es el grupo gauge, ¿no?”. Y el tio calcula cual era la dimension minima que necesitaba para que un espacio tuviera como grupo de isometrias el del modelo estandard, \(SU(3) \otimes SU(2)\otimes U(1)\).
En general, el truco es cocientar el grupo objetivo G por un subgrupo H no trivial; cuanto mayor sea este subgrupo, menor sera la dimension necesaria. Entonces, dijo Witten, para el grupo gauge del modelo estandar podemos tomar H igual a \(SU(2) \otimes U(1) \otimes U(1) \), y restando dim(G)-dim(H) sale… 7.
Vaya, que coincidencia. Asi que la minima dimension posible para plantearse sacar el modelo estandard como isometrias de dimensiones extra es, tambien, 11D.
Esto pilló de sorpresa a todo el mundo, y nadie supo qué partido sacarle. Un par de grupos de investigación, tras darse cabezasos en la pared por haberse dedicado solamente a la esfere (SO(8)) y su fibracion de Hopf (SO(5)xSO(4)), se pusó a clasificar todos los casos de 7 dimensiones extra y vió que realmente no habia más que unos poquitos más, así que podía ser que el modelo estandar fuera natural despues de todo. Por cierto que nadie se fijo en el parecido con la esfera, porque \(CP^2\) y \(S^4\) no son faciles de relacionar, el truco es una construccion de “branched covering”, que tan sólo he visto mencionar a Atiyah, y no en este contexto.
En cuanto a las objeciones, el mismo Witten no veia claro que pudiera construir fermiones quirales en Kaluza Klein y de hecho completó esta demostración en un paper que sólo se publico en un congreso dos años despues, el Shelter Island II. Aun asi, y con lo díficil que es de encontrar, mucha gente lo cita como un teorema non-go de la misma categoría que Coleman-Mandula… para luego tener que buscar excusas para explicar por qué, en cambio, la teoría M sí que es la panacea universal de la física de particulas. Que no digo que no lo sea… sólo que prácticamente cualquier argumento que valga para M-Theory vale para Kaluza-Klein. De hecho Schwartz tiene uno interesante: que la quiralidad sale al estudiar los estados relacionados con las membranas, sea la M2 o la M5.
Peor lo puso el amigo Salam, que se lanzó con su entusiasmo habitual, él y medio equipo de Trieste, para luego encotrarse con que no salian las cargas… Vamos, que aun en el caso no quiral, las representaciones no encajaban. Este era quizas el argumento más fuerte, aunque tambien tendría solución: una dimension extra, que no es muy diferente a añadir un B-L… lo raro es que el grupo de Salam, que obviamente dominaba modelos L R y, er, Pati-Salam, no lo propusiera. Lo sugirierón años más tarde Bailin y Love.
La jubilación de Salam, y la revolución de las supercuerdas heteroticas a mediados de los ochenta, dejaron paralizado este programa de investigación. Y ahi sigue, porque ni el salto de 10D a 11D de las cuerdas de los noventa llevó a resucitarlo. Quizás hay una traba adicional, que es cosmologica: Un espacio de 11D se compacta de manera bastante natural a 4+7 cuando una de las dos piezas es Anti-DeSitter y la otra compacta; eso es una compactificación de Freund-Rubin. Habiendo descartado el AdS como la forma adecuada de nuestro universo macro, la mayor parte de los físicos entrenados en teorias de Kaluza Klein optaron por reconvertirse a Maldacena.