Mis dudas sobre mecanica cuantica

… y, espero, las de más gente. La semana pasada un amigo subió un documento animando a pensar, y escribir, sobre las cuestiones de fundamentos de la Mecánica Cuántica:

http://arxiv.org/abs/1308.5619

Shut up and let me think! Or why you should work on the foundations of quantum mechanics as much as you please

por Pablo Echenique-Robba

Y como espero que muchos de los que llegan a estas paginas tienen ese “restless intellect”, no me parece mala idea abrir el tema a ver que se oye en los comentarios, y aprovecharme de la jugada de apertura para exponer mi propia idea:

Puede que muchas de las dudas lo sean sobre los fundamentos de la mecánica clásica.

Esto parece que no se tiene en pie, porque casi todos los articulos de fundamentos se ponen a discutir páginas y páginas sobre el problema de la médida y el colapso de la función de onda, y muy poquito sobre la cuestión de la evolución de la función de onda. Mi sospecha es que es un efecto farola (“lampost effect”); que es lo que mejor dominamos, lo de la preparación de un estado cuántico y lo de su proyección en otros y cosas asi, y que por ello nos ponemos a discutir sobre ello. Pero la explicación última lleva a intentar entender la relación entre observables clásicos y cuanticos, y si existen los primeros, y si hacen falta.

Una primera evidencia de que hay algo que no se entiende en la mecánica clásica es esta: que no funciona. Que la Naturaleza no la emplea. Y sabemos exactamente lo que la Naturaleza no traga; no tiene problemas -que sepamos- con el tiempo continuo o con el espacio indefinidamente divisible. Pero se le atragantan las variaciones de momento angular. No solo el momento angular total debe conservarse; ademas dos subsistemas no pueden transferirse una cantidad cualquiera, arbitrariamente pequeña, de momento angular. Éste debe ser un múltiplo de la constante de Planck.

En el caso de la teoria de la relatividad, la constante c viene obligada por la teoria de campos clásica: una vez hemos puesto las leyes del electromagnetismo, su incompatibilidad con las transformaciones de Galileo sólo se soluciona incorporando una velocidad máxima. Entendemos pues lo suficiente de teoria de campos para que nadie se llame a engaño en cuanto a la necesidad de la mecánica relativista. Pero la constante h no parece que venga obligada de ninguna parte.

Hay otros indicios de que algo suena mal en la mecánica clásica, pero son muy pequeños. Uno de ellos es histórico, cuando te das cuenta de que los inventores del calculo infinitesimal tuvieron muchas más dudas para aplicarlo a la integración de recorridos que a la integración de longitudes y volumenes. Ya en la antiguedad, Democrito resuelve la cuestion de los infinitesimos para el volumen de la piramide y no se atreve a aplicar la misma solución a la flecha de Zenon. Y siglos despues, Newton va retrasando y retrasando la publicación de los Principia, y en cada retraso retoca y vuelve a llenar de comentarios las secciones del libro I sobre la orbita bajo fuerzas centrales, donde el principal protagonista es la conservación del momento angular y la ley de areas de Kepler.

Otro indicio viene del cálculo númerico; es muy llamatico que el desarrollo de la precision arbitrariamente grande en los algoritmos de Runge-Kutta venga dado por unos árboles, que descubrio Cayley pero que emplea un tal Butcher en este contexto, similares a los que se ha descubierto que gobiernan la inserción de loops en el proceso de renormalización de la serie perturbativa de diagramas de Feynman.

La propia serie de Feynman es otra pista: viene de expandir la integral de camino, la cúal es un desarrollo que F. tomó de un argumento de Dirac sobre las relaciones entre la mecánica cuántica y la clasica. Venia Dirac a decir que un cierto objecto clásico, la transformacion de contacto, llevaba a usar el Langrangiano como mecanismo para transferir el sistema desde un estado en tiempo t a otro en un tiempo distinto t’.

La acción, el langrangiano, tiene unidades de momento angular. Supongo que en el siglo XIX los estudiosos de la mecánica clásica consiguieron solucionar el problema de la dinámica de un objeto cuando el potencial en el que se mueve no es de fuerzas centrales, y por tanto no se conserva el momento angular. Encontraron otra cantidad, basada tambien en el producto de posición y momento, que permitia realizar la integración del recorrido, o más bien encontrar el recorrido directamente mediante un principio de busqueda de máximos y minimos, al igual que en el caso del potencial central se puede encontrar el radio de la orbita circular añadiendo simplemente una fuerza ficticia y buscando el minimo del nuevo potencial. ¿Entendemos lo suficiente estas tecnicas de mecánica lagrangiana? Si funcionan, ¿por qué diablos la Naturaleza las rechaza y prefiere regularizarlas y suavizarlas mediante la cte de Planck?

Me pregunto, volviendo al principio, cuantas de las dudas que decimos tener de “mecanica cuantica” no son sino dudas respecto a todos estos procesos de limite, de extremos y de principios de máxima acción, que hemos pasado de entender y que simplemente hemos dejado para el curso siguiente, y ahora el curso siguiente ha llegado y nos ha sorprendido. Y ojo, que seguramente ahi habrá escondidas muchas cosas que sí que se entienden perfectamente en mecánica clásica, pero que queda más elegante, o menos vergonzoso, discutir diciendo que estamos hablando de una duda de mecánica cuántica.

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