Considerad el sistema de proposiciones formados por las frases del tipo “este angulo esta entre XXX e YYY grados, no inclusive”, más sus uniones e intersecciones finitas. Quizas este es el ejemplo mas trivial de una lógica donde la negación de la negación es el original pero la union de de una proposicion y su opuesta no es el total.
Este “no inclusive” se traduce la topologia habitual de la circunferencia como “conjunto abierto”. Si dijeramos “inclusive”, serian “conjuntos cerrados”. En general la interseccion y union finita de abiertos es abierta, y lo mismo con los cerrados; asi que lo que estamos haciendo es escoger una logica donde no nos creemos que podemos apuntar exactamente a una barrera, y nos tenemos que limitar a considerar interiores, trazos entre limites.
No es todavia un ejemplo de “tertium datur”, pero sí que es una muestra de que no puede uno tragarse alegremente que “tertium non datur”. Porque si ponemos que A sea “estar entre 0 y 90 grados”, y entonces la union de A con NO A es la union de “estar entre 0 y 90 grados” con “estar entre 90 y 360 grados”, entonces, como hemos dicho que los extremos no estaban en estos trazos, vemos que no tenemos la circunferencia completa, el trazo que incluye todas las posibilidades.
Vamos, que el axioma formal de “A o NO A = Total” es falso. Pero si lo leemos literalmente, “tertium non datur”, como que no hay un tercer caso, es todavia valido, dado que el conjunto compuesto por los puntos 90 y 360 no es un abierto, y no esta por tanto en nuestro espacio logico. No obstante este “tertium” esta ahi, y vemos que en cierto modo puede aparecer segun y como consideremos que funciona la negación: si hubieramos admitido intersecciones infinitas, recuperamos el sistema habitual de conjuntos, pero entonces tenemos aun la posibilidad de definir varios tipos de negacion. Tenemos “el complemento”, que es la logica habitual, y tenemos tambien “el abierto mas grande contenido en el complemento”, que seria lo que queda, en el sistema “completado” de todos los conjuntos con frontera incluida o no, de esta negación que hemos encontrado en el ejemplo “de solo abiertos”. En el sistema completado, pero usando la negacion de los abiertos, tan solo se cumpliria que la negacion de la negacion esta contenida en el original. Dicho en terminos formales, que “(NO (NO A)) ==> A”, pero no al reves.
Ah, esto de que lo primero de lo que nos hemos preocupamos es de las “uniones e intersecciones” es la receta habitual: primero se plantea uno una “lattice”, un sistema donde podemos construir las operaciones “AND”, “OR” y que sean mutuamente distributivas: que “X AND (Y OR Z)” sea igual a “(X AND Y) OR (X AND Z)”, y que “X OR (Y AND Z)” sea igual a “(X OR Y) AND (X OR Z)”. A estas piezas les añadimos un total T y un nulo F que funcionen como elementos neutros del AND y del OR. En todo esto no hemos dicho nada de la negacion, y por eso tenemos cierta libertad para definirla, siguiendo las pistas anteriores. Asi, se construyen por elemplo “orthonormal lattices”, que se parecen a la logica clasica, o “orthomodular lattices”, cuya negacion se parece a la de la mecanica cuantica, u otras alternativas. Sospecho que seria posible partir tambien de la construccion de la negacion y luego ver que pasa con disyunción y conjunción.
La moraleja es que la logica clasica es solo una de muchas, y que para colarla suele ser necesario tragarse implicitamente alguna creencia sobre operaciones infinitas, o limitar el sistema a un numero finito de sentencias que puedan ser la totalidad, o trucos asi… algo que desde luego no es cierto en la lengua que se habla a diario.