¿Cuales son las condiciones para que un potencial de Yukawa tenga estados ligados? El ejercicio es sencillo si nos lo tomamos a la Bohr, cuantizando el momento angular \(J=n\hbar\),
(Nota: esto hace que no tengamos aun efecto tunel y todas las resonancias se consideren tambien estados ligados… asi que aqui usamos indistintamente las dos palabras; es de suponer que las cotas que se dan en los articulos academicos consideran autenticos estados estables)
y seguramente es una buena base para aproximar calculos modernos y polologia del scattering… al menos si no tenemos spin ni relatividad por medio, y aun asi valdria para ir viendo las correcciones.
A partir de
\(V(r) = – \lambda { e^{-Mr} \over r} \)
\(F(r)= -V'(r)=\lambda{e^{-Mr} \over r^2}(1+Mr)\)
tendremos, igualando fuerza centrifuga \( J^2/mr^3\) y centripeta,
\({\lambda e^{-Mr}\over r^2}(1+Mr)={n^2\hbar^2\over mr^3}\)
Que queda mas legible si separamos la parte exponencial y la polinomica
\({\lambda \over n^2 \hbar^2} mr (1 +Mr) = e^{+Mr}\)
En r=0 una primera la parabola del lado izquierdo parte desde “y=0”, y la exponencial del lado derecho parte desde “y=1”. Una primara condicion para que pueda haber alguna solucion es que la exponencial crezca al principio mas despacio que el polinomio. Derivamos pues y obtenemos la condicion:
\({\lambda \over n^2 \hbar^2} m>M\)
o \(\frac mM>{n^2\hbar^2\over\lambda}\)
Que ya es un resultado interesante, pero realmente no garantiza que tengamos solucion; la exponencial podria dispararse y pasar rozando la parabola sin tocarla. Lo que queremos es el valor “critico” en el que las dos curvas son tangentes. Asi que imponemos simultaneamente igualdad de lados izquierdo y derecho y de sus derivadas. Que es una forma un poco retorcida, pero mas operativa, de decir que queremos que la derivada sea igual a cero.
\({\lambda \over n^2 \hbar^2} m ( 1 + 2 M r)= Me^{+Mr}\)
Ahora, dividiendo ambas ecuaciones tenemos
\({(1+2 Mr)\over r(1+Mr)}=M\)
cuya solucion es
\(Mr={1+\sqrt 5\over 2}\)
Y sustituyendo arriba
\(\frac mM={n^2\hbar^2\over\lambda}{e^{+Mr}\over 1+2Mr}={n^2\hbar^2\over\lambda}{e^{1+\sqrt 5\over 2}\over 2+\sqrt 5}\)
Usease, y asi vemos que el primer intento no iba tan desencaminado:
\(\frac mM>1.19052{n^2\hbar^2\over\lambda}\)
Cuando \(m\lambda\) supera este valor critico, aparece una solucion de orbita de Bohr n en el radio critico, \(r=\phi/M\), y al ir aumentando bien la masa de la particula atrapada bien su acoplo, esta solucion se bifurca en dos, un minimo del potencial efectivo hacia menor radio y un maximo hacia mayor. El fenomeno es bastante parecido a la aparicion de estados ligados en un potencial de pozo, asi que podemos sospechar que eventualmente una de pasara de ser una resonancia a convertirse en el estado ligado que queremos. Las orbitas de mayor momento angular tendran seguramente comportamiento similar, aunque para pozos genericos creo recordar que habia algun caso en el que el estado ligado aparecia exactamente en energia cero, y aqui podria ocurrir lo mismo. En el caso que nos ocupa no parece que el valor de la energia potencial en el que aparece el estado tenga ninguna particularidad
\(V(r_c) = – \lambda M { e^{-\phi} \over \phi}\)
Sí que es interesante que la existencia del estado ligado depende tambien de incrementar \(m\), que a fín de cuentas es la masa reducida, \(m_1m_2/(m_1+m_2)\) del sistema de dos particulas, por lo que la condicion es realmente
\({m_1m_2\over m_1+m_2}>1.19052{n^2\hbar^2\over\lambda}M\)
o \(\lambda >1.19052 n^2\hbar^2 {M(m_1+m_2)\over m_1 m_2}\)
y habria que ver como reaparece y se modifica esta regla al ir sofisticando la aproximacion y la cinematica: con NRQM, con relativistic, con spin, con aproximacion de Born, con QFT… Como minimo, hay que darse cuenta de que con Pauli o Sommerfeld la interpretacion del momento angular cambia, y ademas hay que admitir el caso l=0, donde no hay termino centrifugo y no podemos ni siquiera sacar este onset, que ocurre tan solo a partir de la onda l=1.
Relacion con otras cotas
Poniendo unidades \(1=2m=\hbar\), y n=1, la condicion para la existencia de estado ligado seria
\(\frac \lambda M > 2* 1.19052\)
Usando ya la ecuacion de Schroedinger: Una condicion necesaria, pero no suficiente, es la de Bargmann-Schwinger (Jost-Pais?), que la integral de r V(r) sea mayor que que uno. En este caso tendriamos que lambda/M >1, asi que se cumple trivialmente. Tambien Calogero tiene una cota necesaria generica en la que se pide que la integral de \(\sqrt{-V(r)}\) sea mayor que pi/2. Y vease tambien Brau 2004.
Especificamente para Yukawa, Bennett 81 repasa varias cotas existentes. Al parecer la mejor cota necesaria es \(\frac \lambda M > 1.65\) y me hace temer que se me haya escapado por algun lado una raiz de dos o algun problema de interpretacion del momento angular en old QM comparada con NRQM.
Este articulo de De Leo y Rotelli es un poco mas raro y nos dice que tendriamos que haber obtenido \(\lambda/M= 0.84/m\), que es casi lo contrario de lo que en realidad tenemos, \(.8399\lambda/M= 1/m\). Y tambien nos dice que fijando \(\lambda=1\) sí que hay unos limites $M/m$ de 1.19 y 1.68 segun estemos resolviendo la ecuacion de Schroedinger o la de Dirac. Es dificil ver como se puede comparar con esta aproximación, no digamos ya encontrar el error.
Relacion con polologia
El hecho de que el punto de contacto entre las dos lineas sea siempre en el mismo radio, independiente de la capa -para una onda dada al menos- recuerda bastante a otro fenomeno de la matriz de scattering: que los polos entran a la linea \(ik\) siempre en el mismo punto, o en tan solo un par de lugares como mucho, a medida que vamos variando la cte de acoplo. Como ocurre aqui, los polos suelen entrar primero como resonancias, en el semiplano negativo, en pares; uno de ellos se aleja hacia el infinito y otro viaja hacia el origen para convertirse en un estado ligado… que aparece a energia cero, no a una energia menor.