Incidencias

Pati-Salam y 8 dimensiones extra

Aunque habia etiquetado como “wiki” la entrada sobre Kaluza-Klein y en teoria tendria simplemente que ampliarla, puede que sea mejor contarlo desde otra perspectiva. Y vamos, asi pongo una nueva entrada en el blog.

Si habeis pensado ya un rato sobre Kaluza Klein, puede que hayais caido ya en que las dimensiones extra no son las del grupo de Lie. Los ejemplos de U(1) y de \(U(1)^n\), que es el toro n-dimensional, son engañosos. En cuando uno se plantea que las isometrias de la n-esfera son las del grupo SO(n+1), se ve que la cosa no encaja y que en realidad el espacio que hace falta suele ser bastante más pequeño, en dimensiones, que el grupo que queremos obtener.

En particular, el su(2) x su(2) del L-R Pati-Salam es de los obvios, porque sabemos que su algebra es equivalente a la de so(4), y por tanto la teoria de Kaluza Klein correspondiente va a ser solo la de la esfera S3.

Y en cuando al grupo SU(4) de lepton+color, pues resulta que tambien hay una equivalencia de algebras, es igual a la de so(6), y por tanto basta con la esfera S5

Conclusion: Para conseguir un espacio con isometrias “Pati-Salam” SU(4)xSU(2)xSU(2), nos basta con 8 dimensiones extra: S5xS3.

Naturalmente, para el grupo GUT SO(10) necesitariamos 9 dimensiones extra: las de S9. Y para el grupo SU(5) podriamos aplicar una regla general con los grupos de isometrias de CPn: para CP2, sus isometrias son SU(3); para CP4, sus isometrias son SU(5).

Por cierto, fijaos que si en vez de lepton-color empleamos \(U(1)_{B-L} \times SU(3)\) no cambiaria la cosa de dimensiones, seria S1xCP2 en vez de S5.

Asi que ya tenemos un grupo GUT en 9 dimensiones extra, y dos de los otros en tan solo 8. ¿Tenemos algo interesante en 7? Pues pocas cosas, si a la clasificacion de metricas de Einstein en variedades 7-dimensionales compactas nos atenemos, pero entre ellas una que seguramente Witten encontró pensando en estos ejemplos: el cociente de la de Pati-Salam, S5xS3, por una accion de U(1) que produzca una variedad de 7 dimensiones, va a tener siempre al menos las simetrias del modelo estandar, SU(3)xSU(2)xU(1).

Por otro lado, la maxima supergravedad no puede tener mas de siete dimensiones extra; ni ocho ni nueve. Y de otra parte, para conseguir las cargas y quiralidades del modelo estandar sabemos que siete no chuta y necesitamos al menos construir fermiones en ocho. Juntando las dos cosas, se puede intuir que algo raro va a haber en la ruptura de Pati-Salam a SM, y esa rareza, que desconocemos, debe ser la causa de que los bosones de esa ruptura, ni su gauge ni sus higgses, no aparezcan por ningun lado; no pueden jugar la misma partida que el resto de las interacciones gauge, porque no podemos pasar de siete dimensiones.

La cultura de la transición de fase.

Ayer estuve en una presentacion, en el sotano de una libreria local, de algunos resultados del grupo 15mdata. Vienen a ser nuestra competencia, algo asi como ATLAS y CMS en el LHC. Hablamos un poco acerca del concepto de transición de fase, que nosotros empleabamos en algunas de nuestras exposiciones y que ellos tambien han presentido, tanto sobre el terreno politico (un antes y un despues del 15m) como en las medidas estadisticas.

Por supuesto, una transicion de fase es estrictamente algo bien definido, cuando se pasa por ejemplo de gas a liquido, que cambian las formas de enlazar de los atomos, los grados de cohesion del sistema, un monton de cosas. Hay ademas un tipo especial de transiciones en las que la longitud de correlacion en el sistema se hace infinita, que son las que estabamos buscando en el post anterior para intentar acelerar la formacion de consensos. La duda es si se da, en fenomenos como el 15m, esta CTF en un sentido precisamente de mecanica estadistica, ademas de darse por supuesto en el feeling y ambiente politico (como lo llamaba un colega, la “individuacion de un sujeto nuevo”).

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la masa del top, y predicciones.

Parece que HPC2012 no va a sacar medidas nuevas de la masa del Top, y por otro lado el Tevatron ya da por definitiva su medida,

173.18 ± 0.56 ± 0.75 GeV

donde la suma en cuadratura de los errores sería ± .936 GeV

De otra parte, sí que hubo una combinacion Atlas/CMS en Julio, que daba 173.34  ± 1.42, pero el CMS en solitario tiene -en Septiembre- otra preliminar que es mejor, 173.36 ±.986.

Suelo estar al tanto de estas medidas por ver su cercania a dos predicciones intuitivas que me gusta llevar en la cabeza. Por un lado, yukawa del top igual a uno, que corresponde a una masa de 174.10 GeV, si se puede considerar que este yukawa corresponde a la medida directa. Por otro, mi prediccion de la masa a partir de una escalera de Koide, o catarata de Koide segun se mire, y que daba 173.26385 GeV.

Si nos creemos que podemos hacer la media ponderada de una medida del Tevatron y otra del LHC, que a fin de cuentas son independientes pero miden la misma particula, y aplicamos que la sigma cuadrado final es la suma de (peso*sigma)^2 de las dos que estamos combinando, entonces podemos “mejorar” la medida:

Combinando Tevatron y LHC del Verano, tendriamos 173.228  ± .782 GeV.

Combinando Tevatron y CMS de Septiembre, tendriamos  173.265 ± .679 GeV.

Asi que parece que tal como van las cosas la posibilidad Yukawa=1 estaria una sigma fuera mientras que la prediccion via Koide se asienta en la zona central de la combinacion. No obstante, las combinaciones del LHC parece que estan siendo sistematicamente mas altas que las del Tevatron,  asi que todavia hay margen para que al ir aumentando la precision se vaya la zona central un poquito mas para arriba. A ver cuando sacan los calculos con toda la luminosidad de este año!

define top(massfactor,anglefactor) {
me=0.000510998910
mmu=0.1056583668
mtau=((sqrt(me)+sqrt(mmu))*(2+sqrt(3)*sqrt(1+2*sqrt(me*mmu)/(sqrt(me)+sqrt(mmu))^2)))^2
m=(me+mmu+mtau)/6
pi=4*a(1); cos=(sqrt(me/m)-1)/sqrt(2); tan=sqrt(1-cos^2)/cos
delta=pi+a(tan)-2*pi/3
mc=massfactor*m*(1+sqrt(2)*c(anglefactor*delta+4*pi/3))^2
ms=massfactor*m*(1+sqrt(2)*c(anglefactor*delta+2*pi/3))^2
mb=massfactor*m*(1+sqrt(2)*c(anglefactor*delta))^2
mtop=((sqrt(mc)+sqrt(mb))*(2+sqrt(3)*sqrt(1+2*sqrt(mc*mb)/(sqrt(mc)+sqrt(mb))^2)))^2
return mtop
}
top(3,3)
173.2639415940

Casos extremos de Barabasi y exponenciales.

Para cerrar con el hilo  (1,2,3,4)  sobre las desigualdades producidas por preferential attachment (o su primos cercanos, cumulative advantage y first-mover advantage), nos quedaba comentar un poco cómo es que los dos primeros ejemplos en python con los que comenzamos a simular estas cosas se aproximaban fielmente a la curva de reparto

\(x ( 1- \ln x)\),

que es la que corresponde a una distribución de atenuación exponencial de la riqueza,

\(C e^{-k/k_0}\)

Alguno se habrá dado cuenta de que las dos simulacionesestaban pensadas para emular, fuera del caso de redes, los casos límite A y B (o al reves) que sugiere Barabasi. Uno de ellos lo resuelven directamente en el paper de Barabasi, Albert y Jeong;  prueban que en efecto se aproxima a una exponencial. El otro caso es más dificil de encontrar resuelto en la literatura, porque se ha ido quedando como ejercicio; lo podeis ver precisamente como problema 14.4 en el capitulo “Models of Network Formation” del libro de texto de M. E. J. Newman. Alli se pide que probemos que la configuración inicial en la que todos empiezan con igual riqueza, se pude ver que la distribución de grado es

\(p_k(c) = {(c-1)^{k-1} \over c^k}\)

donde c es la riqueza promedio, que en este caso al no ir añadiendo mas nodos va creciendo hacia infinito. Se puede entonces ver, bien rigurosamente mediante expansiones asintoticas (expandiendo alrededor de 1/c), bien a lo bruto dividiendo y considerando c grande, que tambien esta distribucion se aproxima al exponential decay.

Por supuesto, los dos casos que teniamos tambien se pueden resolver a lo bruto, poniendo terminos, sumando y hallando límites; en ese caso es más facil, o a mi me lo pareció al calcularlo, sacar la distrubución de desigualdad, la del logaritmo, directamente. Mi plan inicial era explicar esta demostración, hasta que me di cuenta de que los casos generales estan bien desarrollados en la literatura.

Tablas de Leontief de la Economia Aragonesa

En 2005, que me conste, fue la ultima vez que se calculo el modelo de Leontief tanto para España en la Contabilidad Nacional como para Aragón en un trabajo de Perez y Parra.

Lo cierto es que son cantidades demasiado agregadas para ver algo, pero como prueba de concepto he metido en el gephi la tabla simetrica, sólo el 3% mas alto de los links internos. Esta es la pinta que tiene.

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