Casos extremos de Barabasi y exponenciales.

Para cerrar con el hilo  (1,2,3,4)  sobre las desigualdades producidas por preferential attachment (o su primos cercanos, cumulative advantage y first-mover advantage), nos quedaba comentar un poco cómo es que los dos primeros ejemplos en python con los que comenzamos a simular estas cosas se aproximaban fielmente a la curva de reparto

\(x ( 1- \ln x)\),

que es la que corresponde a una distribución de atenuación exponencial de la riqueza,

\(C e^{-k/k_0}\)

Alguno se habrá dado cuenta de que las dos simulacionesestaban pensadas para emular, fuera del caso de redes, los casos límite A y B (o al reves) que sugiere Barabasi. Uno de ellos lo resuelven directamente en el paper de Barabasi, Albert y Jeong;  prueban que en efecto se aproxima a una exponencial. El otro caso es más dificil de encontrar resuelto en la literatura, porque se ha ido quedando como ejercicio; lo podeis ver precisamente como problema 14.4 en el capitulo “Models of Network Formation” del libro de texto de M. E. J. Newman. Alli se pide que probemos que la configuración inicial en la que todos empiezan con igual riqueza, se pude ver que la distribución de grado es

\(p_k(c) = {(c-1)^{k-1} \over c^k}\)

donde c es la riqueza promedio, que en este caso al no ir añadiendo mas nodos va creciendo hacia infinito. Se puede entonces ver, bien rigurosamente mediante expansiones asintoticas (expandiendo alrededor de 1/c), bien a lo bruto dividiendo y considerando c grande, que tambien esta distribucion se aproxima al exponential decay.

Por supuesto, los dos casos que teniamos tambien se pueden resolver a lo bruto, poniendo terminos, sumando y hallando límites; en ese caso es más facil, o a mi me lo pareció al calcularlo, sacar la distrubución de desigualdad, la del logaritmo, directamente. Mi plan inicial era explicar esta demostración, hasta que me di cuenta de que los casos generales estan bien desarrollados en la literatura.