La mecanica cuantica tiene muchos parecidos razonables a la topologia algebraica moderna, con todas sus teoremas del indice y cantidades que deben ser multiplos de enteros; numeros enteros, realmente. Los metodos primitivos de exigir que un volumen del espacio de fase sea un multiplo entero de la cte de Planck, o de que una orbita contenga un numero dado de longitudes de onda, son apropiados para estas técnicas. Pero, ¿qué podemos decir del formalismo mas avanzado, de la “mecánica de matrices”. Puede que los textos de Heisenberg y familia tuvieran un sabor de aplicación matemática, pero desde luego no se ve su reaparicón en matemáticas.
Por ello era muy interesante la idea de Connes del “grupoide tangente”, una variedad que era el pegado de las familas de espacios no commutativos que podias parametrizar con la cte de planck, con el espacio topologico de mecánica clasica, el fibrado tangente. Al considerar el conjunto de funciones sobre esta variedad, automaticamente tenias a la vez la física cuantica, en cualquier coordenada \(\epsilon > 0\), y la fisíca clasica, en la coordenada \(\epsilon=0\). Y si digo epsilon y no hache, es porque una de las cosas bonitas del grupoide es que abria las puerta a un mejor entendimiento del concepto de derivada: la parte “de secantes” en el grupoide tangente es una especie de haz (sheave) de derivadas discretas, y la mecánica cuantica es la forma sorprendente de trabajar con ellas sin necesidad de tomar el límite continuo.
Con esta visíón se explican otros trabajos en los que me metí en los años posteriores: la visión del cono de Demócrito, la extraña pausa de Newton al arrancar los principia, o la peculiar estructura de los arboles de Connes y Kreimer. Todo ello lo ire mencionando en posteriores notas, pero para entenderlo creo que es importante no perder de vista el grupoide.
Como dije en un post anterior, publicamos un articulo sobre el tema, http://dftuz.unizar.es/~rivero/research/9802102.pdf y ademas en plan personal preparé un par de notas:
http://dftuz.unizar.es/~rivero/research/9710026.pdf;
y http://dftuz.unizar.es/~rivero/research/ode.pdf
Por cierto que lo de que en ingles sea “group” y por tanto “groupoide” y “groupie”, me deja siempre ortograficamente desconcertado al escribirlo en otros idiomas.