La masa del top, con Koide y bc

Como ya sabreis algunos, han hecho una nueva combinacion de las medidas de la masa del top, que da 173.34 \pm 0.76 GeV. Voy a aprovechar para copiar en mi propio blog la “prediccion” a partir de Koide, y de paso recordar como se programa en bc.

Tomamos como datos de partida tan solo la masa del electron y del muon, y como unica formula en juego la de Koide. Primero, invocamos bc -l y extraemos los parametros de la formula de Koide para leptones:

me=0.510998910
mmu=105.6583668
mtau=((sqrt(me)+sqrt(mmu))*(2+sqrt(3)*sqrt(1+2*sqrt(me*mmu)/(sqrt(me)+sqrt(mmu))^2)))^2
m=(me+mmu+mtau)/6
pi=4*a(1)
cos=(sqrt(me/m)-1)/sqrt(2)
tan=sqrt(1-cos^2)/cos
delta=pi+a(tan)-2*pi/3
m
313.85637451802761084361
delta
.22222204702550362814

El angulo aparte de ser mnemotecnicamente elegante es posible que no tenga mayor trascendencia, pero la masa de la tripleta es interesante porque, aun siendo leptones, la cantidad nos es conocida del mundo QCD: es la masa del componente de un proton o un neutron. En fín, ahora para seguir empleamos la construccion de funciones en bc

define top(km,kdelta) {
mq=km*m
deltaq=kdelta*delta
mc=mq*(1+sqrt(2)*c(deltaq+4*pi/3))^2
ms=mq*(1+sqrt(2)*c(deltaq+2*pi/3))^2
mb=mq*(1+sqrt(2)*c(deltaq))^2
mtop=((sqrt(mc)+sqrt(mb))*(2+sqrt(3)*sqrt(1+2*sqrt(mc*mb)/(sqrt(mc)+sqrt(mb))^2)))^2
return mtop
}

Y por comparacion empirica nos damos cuenta de que la masa base debe ser tres veces mayor. En cuanqo al angulo, pues ni idea, pero un resultado bastante consistente con el medido sale si ponemos tambien un factor tres:

top(3,3)
173263.94170381397040438241
top(3,3.0052)
173341.36373280407104421405
mc
1363.22656508245784209791
mb
4193.55577536946721835017
ms
92.63240087257193452974

He podido imprimir los resultados intermedios porque al no ser parametros de entrada ni haberlos declarado “auto” no eran variables internas a la funcion.

Los que hayais seguido el tema ya sabreis que la formula se invento para un modelo de subcomponentes de quarks y leptones y que en principio solo deberia funcionar para leptones, asi que es un misterio tanto el que funcione para secuencias de quarks, que no deberia, como el propio hecho de que funcione para predecir la masa del tau, dado que tal subestructura tendria que haber sido ya detectada. Mi sospecha particular es que es un residuo de una supersimetria entre mesones y leptones (y entre diquarks y quarks); quizas una indicacion de que hay algun limite en que la cuerda de QCD es una cuerda fundamental.

vuelos subexponenciales y fractales

Una forma muy comoda de generar distribuciones de Poisson es aprovechar que la distribucion de los intervalos, de los tiempos de espera, es la exponencial. Vamos sacando aleatorios t1, t2, t3… de esa distribucion y simplemente ponemos “al vuelo” los puntos t1, t1+t2, t1+t2+t3,… El numero de puntos que generados de esa manera entren en un intervalo dado va a seguir la distribucion de Poisson.

En cierto modo la exponencial es algo forzoso. En Poisson, la decision de si un punto va a entrar en la cuenta es independiente de que hayan entrado otros puntos. Eso significa que la distribucion de intervalos no puede tener memoria: si nos dicen que han entrado los puntos x1 y x3, cualquier punto intermedio deberia tener la misma probabilidad. Pero desde el punto de vista de vuelos, la probabilidad de que hubiera un punto x2 es el producto de probabilidades del vuelo de x1 a x2 y del vuelo de x2 a x3. No queda mas narices que sea e^{-k(x3-x2)} e^{-k(x2-x1)}, cualquier otra funcion va a privilegiar unos puntos x2 respecto a otros.

Dicho esto, me ha entrado la curiosidad de tipo de nubes de puntos salen cuando uno usa vuelos con distribuciones de estas que llamamos “invariantes de escala”, las del tipo 1/x^b
de mayor alcance que los exponenciales, Quizas tendria que llamarlas “supraexponenciales”, dado que lo que ocurre es que hay un “heavy tail” y una probabilidad bastante alta de un vuelo mas largo que en el caso exponencial. Por otro lado, uno normalmente piensa de estos polinomios como una aproximacion progresiva a la caida exponencial, asi que en la cabeza las estoy llamando “sub” en vez de “supra”

Al grano. Lo que queria mirar en este post es si en algun momento la distribucion de puntos es un fractal. Una forma de verlos es comprobar como escala el contenido respecto al tamaño. Esto es, contamos por un lado el numero de puntos que hemos metido para generar un intervalo y por otro lado su longitud, la suma total. Esto lo podemos hacer con un codigo python

#!/usr/bin/python
import sys
import numpy as np
exp=float(sys.argv[1])
n=0
maximo=0
maxpromedio=0
suma=0
print
print
x=[]
y=[]
z=[]
m=[]
while True:
  n+=1
  intento=np.random.pareto(exp)
  suma+=intento
  if suma/n > maxpromedio:
     maxpromedio=suma/n
  if intento > maximo:
     maximo=intento
  if np.log2(n).is_integer() and np.log2(n)>4:
     x.append(np.log2(n))
     y.append( np.log2(suma))
     z.append(np.log2(maximo))
     m.append(np.log2(maxpromedio))
     p,V=np.polyfit(x,y,1)
     pz,V=np.polyfit(x,z,1)
     pm,V=np.polyfit(x,m,1)
     print exp, len(x), p, pz, pm,
     print  "| %1.3f %1.3f " % (1/p, 1/pz)
     #print exp, n, maximo, np.log2(n), np.log2(maximo),
     # np.log2(suma), np.log2(maxpromedio)

Y en realidad lo que estamos haciendo es para n puntos, sumar n variables independientes todas con la distribucion de Pareto correspondiente. Esperamos que entre en juego el teorema central del limite cuando las distribuciones tengan b > 3 y que ya antes, con b>2, el hecho de que exista valor medio de la distribucion haya hecho entrar en accion a la desigualdad de Markov.

Cuando 1 < b < 2, no tenemos gran idea de lo que va a pasar, pero el folklore fractal nos permite sospechar que va a haber una ley de escala entre el contenido del intervalo y su longitud. Una dimension fractal, vamos.

Venga, pues ejecutamos un rato el codigo y vemos que leyes de potencias salen. Fijaos sobre todo en las inversas del ajuste de minimos cuadrados, que son las dos ultimas columnas:

0.1 21 10.2215654543 10.2220691497 9.21554333643 | 0.098 0.098
0.1 21 10.6414413083 10.6340220642 9.66758183443 | 0.094 0.094
0.1 21 7.65785791454 7.64289916897 6.66616080022 | 0.131 0.131
0.1 21 9.03031553255 9.03397493797 8.41987390083 | 0.111 0.111
0.2 21 4.65155228853 4.65019960409 3.70803482651 | 0.215 0.215
0.2 21 4.7092066135 4.71368302913 3.66266507205 | 0.212 0.212
0.2 21 5.31074565522 5.28702270808 4.3601627827 | 0.188 0.189
0.2 21 5.45839569952 5.46993848673 4.59458429733 | 0.183 0.183
0.2 21 5.83462477135 5.8564820055 4.8274032778 | 0.171 0.171
0.4 21 1.83451060471 1.81096494583 0.717692574423 | 0.545 0.552
0.4 21 2.47018412976 2.45082565822 1.3613718474 | 0.405 0.408
0.4 21 2.49601035805 2.49387109342 1.52922470856 | 0.401 0.401
0.4 21 3.36861402177 3.436989876 2.54679249394 | 0.297 0.291
0.5 21 1.63770991123 1.61747116549 0.760356432681 | 0.611 0.618
0.5 21 1.68566575589 1.63785973424 0.670415437561 | 0.593 0.611
0.5 21 1.78332522902 1.71580018618 0.717280512823 | 0.561 0.583
0.5 21 2.40239982042 2.47533986413 1.42345780308 | 0.416 0.404
0.7 21 1.36275890665 1.31614771144 0.332481839006 | 0.734 0.760
0.7 21 1.48185928701 1.51426384241 0.596712802431 | 0.675 0.660
0.7 21 1.56630315806 1.60428744524 0.558623488121 | 0.638 0.623
0.7 21 1.69957421131 1.76821248138 0.734001583234 | 0.588 0.566
0.9 21 1.06908594435 0.933263576648 0.173359067467 | 0.935 1.072
0.9 21 1.17471966923 1.11284062068 0.165422583512 | 0.851 0.899
0.9 21 1.24097842931 1.28089286355 0.268913193027 | 0.806 0.781
0.9 21 1.24521989096 1.25095473827 0.204964077263 | 0.803 0.799
1.0 21 1.04630285531 1.00331140079 -2.15669570539e-16 | 0.956 0.997
1.0 21 1.07769987303 1.06240437302 -1.43779713692e-16 | 0.928 0.941
1.0 21 1.08120311841 0.976718941315 0.125182594747 | 0.925 1.024
1.0 21 1.09264515958 1.03451857085 0.174950463183 | 0.915 0.967
1.1 21 1.0058975402 0.750527707987 0.0961440263979 | 0.994 1.332
1.1 21 1.01660273885 0.726634095302 0.0739695911276 | 0.984 1.376
1.1 21 1.03432731085 0.98588293891 0.263265432537 | 0.967 1.014
1.1 21 1.07115363408 0.90503139179 0.0631928991542 | 0.934 1.105
1.3 21 0.991933368553 0.769953867525 -1.19816428077e-16 | 1.008 1.299
1.3 21 1.02891798659 0.816123578885 0.0208273031947 | 0.972 1.225
1.3 21 1.03174200349 0.815488117252 0.0786105411361 | 0.969 1.226
1.3 21 1.05128184958 0.808258753134 0.0294745071911 | 0.951 1.237
1.5 21 1.00515263544 0.579819941948 -5.99082140385e-17 | 0.995 1.725
1.5 21 1.01303768898 0.673988410337 0.0215068079652 | 0.987 1.484
1.5 21 1.02587547379 0.663660567458 -4.1935749827e-17 | 0.975 1.507
1.5 21 1.04824778494 0.733044916946 0.0562548668574 | 0.954 1.364
1.9 21 1.00111938437 0.461678724256 -2.39632856154e-17 | 0.999 2.166
1.9 21 1.02520517843 0.58669081982 -4.1935749827e-17 | 0.975 1.704
1.9 21 1.02522041532 0.52934586514 -5.99082140385e-18 | 0.975 1.889
1.9 21 1.03455532005 0.609178814618 0.0211572781037 | 0.967 1.642
2.0 21 0.996494113688 0.458529058988 -2.39632856154e-17 | 1.004 2.181
2.0 21 1.00973714499 0.49041126089 -8.98623210578e-18 | 0.990 2.039
2.0 21 1.01024230667 0.506934761729 -2.24655802644e-18 | 0.990 1.973
2.0 21 1.01202314635 0.48770648771 -1.49770535096e-18 | 0.988 2.050
2.1 21 1.00182622643 0.576169020827 -2.99541070193e-17 | 0.998 1.736
2.1 21 1.00284106918 0.512319911546 -5.99082140385e-17 | 0.997 1.952
2.1 21 1.00889558877 0.484739406135 -2.62098436419e-18 | 0.991 2.063
2.1 21 1.02196668605 0.511140047796 -3.74426337741e-18 | 0.979 1.956
2.2 21 0.97589734141 0.47555151319 -9.58531424616e-17 | 1.025 2.103
2.2 21 1.00735679224 0.488186293291 0.00226927797562 | 0.993 2.048
2.2 21 1.01059268424 0.44823257229 2.24655802644e-18 | 0.990 2.231
2.2 21 1.01218046491 0.456664291781 -3.74426337741e-18 | 0.988 2.190
2.5 21 1.00090235046 0.401806983522 7.48852675482e-19 | 0.999 2.489
2.5 21 1.00197124232 0.464038218364 -2.39632856154e-17 | 0.998 2.155
2.5 21 1.00912887228 0.468148804093 0.0186860940474 | 0.991 2.136
2.5 21 1.00916804822 0.370121556675 4.49311605289e-18 | 0.991 2.702
2.9 21 0.972394716299 0.255410402177 -1.79724642116e-17 | 1.028 3.915
2.9 21 0.989122681052 0.369322087019 -4.49311605289e-18 | 1.011 2.708
2.9 21 0.995254739229 0.358256016446 0.0014406745445 | 1.005 2.791
2.9 21 1.00074419185 0.367401325739 0.00687184912409 | 0.999 2.722
3.0 21 0.998601234573 0.322878557304 -1.12327901322e-18 | 1.001 3.097
3.0 21 1.00141126952 0.358920253703 1.19816428077e-17 | 0.999 2.786
3.0 21 1.00521760062 0.319382388595 0.0100505368038 | 0.995 3.131
3.0 21 1.01061046245 0.378741341224 8.42459259917e-19 | 0.990 2.640
3.1 21 0.983718843546 0.315996058698 2.62098436419e-18 | 1.017 3.165
3.1 21 0.997954016029 0.296572714283 9.36065844352e-19 | 1.002 3.372
3.1 21 1.00122589274 0.369748338667 0.00229312488497 | 0.999 2.705
3.1 21 1.00580877392 0.365142965802 0.00663213587297 | 0.994 2.739
4.0 21 1.0004116485 0.244518485921 5.99082140385e-18 | 1.000 4.090
4.0 21 1.00050900344 0.296338796516 0.00165401924686 | 0.999 3.375
4.0 21 1.00130111749 0.271827343336 2.99541070193e-17 | 0.999 3.679
4.0 21 1.00663887701 0.247636779564 0.00849941533798 | 0.993 4.038
5.0 21 0.9943337524 0.222995672828 2.39632856154e-17 | 1.006 4.484
5.0 21 0.995315611176 0.264445123538 0.00524689699634 | 1.005 3.782
5.0 21 1.00701066078 0.227780600217 6.58990354424e-17 | 0.993 4.390
5.0 21 1.01401145796 0.249559622575 0.00578083319398 | 0.986 4.007
8.0 21 0.98346612918 0.134672452357 2.99541070193e-17 | 1.017 7.425
8.0 21 0.984714702399 0.166741954129 2.99541070193e-17 | 1.016 5.997
8.0 21 0.987523204813 0.130386848118 5.99082140385e-18 | 1.013 7.669
8.0 21 1.01184575427 0.1833677755 4.79265712308e-17 | 0.988 5.454
12.0 21 0.99290709814 0.141661447191 0.0 | 1.007 7.059
12.0 21 0.998197475165 0.143316659926 1.19816428077e-17 | 1.002 6.978
12.0 21 0.999387185328 0.172183181435 9.58531424616e-17 | 1.001 5.808
12.0 21 1.00165466091 0.161164575256 3.59449284231e-17 | 0.998 6.205
20.0 21 1.00450195603 0.142938681948 0.00827642053648 | 0.996 6.996
20.0 21 1.00469595135 0.16088611642 0.00561075814881 | 0.995 6.216
20.0 21 1.00739431872 0.12650962307 8.38714996539e-17 | 0.993 7.905
20.0 21 1.01266206973 0.156867141824 0.0127964121666 | 0.987 6.375

En efecto, hay algo como una transicion de fase, el momento en que b es igual o mayor que 2 (los 1.0 de la tabla, con la parametrizacion que usa numpy para las distribuciones “de Pareto”) y comienza a existir un valor medio finito para la distribucion. A partir de ahi el intervalo tendra tipicamente una longitud simplemente multiplo del numero de vuelos. Curiosamente no detectamos nada nuevo para b=3, donde de verdad se activa el teorema central del limite.

Mirando con detalle, parece ser que tanto la longitud total como el mayor salto generado escalan con el numero de puntos con un exponente similar al inverso del que parametriza la distribucion, b-1. Cuando llegamos a b=2 nos encontramos con que la longitud deja de escalar; hemos “saturado” la dimension fractal, y ya no puede ser mayor que uno. En cambio el mayor salto sigue creciendo con el numero de puntos que generamos. Yo habia esperado que esto era lo que iba a anularse en b=3 (los 2.0 de la tabla), pero no ocurre asi. Da la impresion de que se frena un poco, pero no mucho mas.

Precios en la sombra

Pues por fin me he leido el articulo “Mathematical Methods of Organizing and Planning Production“, que le dió a Kantorovich el premio Nobel de Economia, y el derecho a dirigir un centro de investigación en economia matemática en Siberia.

Bueno, lo de Siberia fue un ascenso, aunque no deja de sonar un poco a cuarentena preventiva hasta que se entendieran sus metodos. Kantorovich habia descubierto una ciencia, la Programacion Lineal, que ni siquiera estaba claro si tenia que ser secreto militar o no, y para colmo su primer metodo incorporaba unos “multiplicadores” que parecian sospechosamente… precios.

Pongamos el ejemplo mas sencillo. En optimizacion lineal, todo va con proporcionalidades simples, directas o inversas, y sumas.  Tomemos simplemente dos objetos, A y B, y una serie de maquinas (o equipos de producción) que pueden emplearse para producir bien el objeto A, bien el objeto B, pero cada una de ellas tienen distinta eficiencia a la hora de producir cada objeto.  La demanda de los dos objetos es la misma, podrian ser incluso dos piezas de un mismo producto final, o en todo caso hay la demanda suficiente para que queramos maximizar la produccion del menor de los dos; cuando todo es lineal, eso lleva a producir la misma cantidad de ambos.

¿Que hacemos? Ordenamos las maquinas segun su productividad relativa de A y B. Si una maquina puede producir 1.5 elementos de A por hora, y solo 0.5 de B, tendra una productividad relativa A::B de 3.0; calculamos la relacion correspondiente en cada maquina. Una vez tenemos todo ordenado, vamos seleccionando desde un extremo las maquinas que van a ir haciendo tan solo A en exclusiva y desde el otro las que van a ir haciendo B, con cuidado de ir manteniendo la condicion de producir approximadamente tanto A como B. El resultado final sera el de produccion maxima; hemos ido escogiendo siempre las mejores maquinas para cada caso.

Lo interesante es que esta productividad relativa A::B = k que nos ha permitido separar unas maquinas de otras se puede ver como si fuera el cociente del precio entre el producto B y el producto A; si pagamos a cada maquina k rublos por producir B y tan solo un rublo por producir A, entonces aun asi las maquinas con A::B > k se pondran a hacer A, porque ganan mas en total, y las maquinas con A::B < k seran las que se pongan a fabricar B.

Kantorovich encontró estos “precios en la sombra” y descubrio que, si asumimos que todo es lineal, permitian generalizar la optimizacion de produccion a un numero cualquiera de N maquinas y M productos.  Eso significa que un problema de encontrar Nx(M-1) incognitas para decidir cuanto producir en cada maquina se reduce a un problema de encontrar M incognitas, los “resolving multipliers” de cada producto en esa fabricacion,  y luego cada máquina puede tomar trivialmente la decision acerca de qué producir, sabiendo el “valor” de cada producto.

Lo curioso es que estamos maximizando la oferta y ,dado el mecanismo lineal en la produccion, ese maximo esta ajustado tambien a dar exactamente el mismo numero de cada producto.  Si hay algun mecanismo de oferta y demanda, esta profundamente escondido en el mecanismo de producción, y si estos coeficientes son precios, no lo son fuera de la fabrica, donde todos quieren comprar la misma cantidad de objetos de cada tipo. Los rublos parecen trabajar dentro de la fabrica, pero no deberian salir de alli.  Y de ahi, supongo, el poner en cuarentena al pobre Kantorovich, hasta entender todo el proceso.

Galileo atómico y parabólico

Algunas de las pinceladas que echo siempre en falta en los comentarios sobre Galileo son las de su relación con Cavalieri, y de rebote con la teoria atomica.

Existe la teoria de que la inquisición no podia disimular las acusaciones aquellas de heliocentrismo porque Galileo tenia ya “antecedentes penales” en sus archivos, relacionados a la enseñanza de la doctrina de los átomos de Epicuro y Democrito.

Desde luego, en el “dialogo sobre dos nuevas ciencias”, discute cuestiones atomicas. Pero mucho antes tenemos que Cavalieri, en una mezcla entre peloteo y parasitismo de prestigio, se empeña en asignarle a él la idea del nombre de su teoria de integracion: “la teoria de indivisibles” .  Que dicho en latin, es lo mismo que átomo dicho en griego. Asi que si hay alguna caza de brujas contra la teoria atomica, Cavalieri mete la pata y pone a Galileo en el foco de la sospecha.

(Aparte de lo que pudiera ser de insultante para la religion las introducciones de textos  como el de Lucrecio, nos explica Pietro Redondi que uno de los motivos para que la teoria atomica no gustara mucho en la iglesia era que les chafaba la explicacion de la transustanciacion, que con la teoria de la materia aristotelica no tenia problemas: “Sabe a jabon pero es queso”. Vamos, sabe a pan pero eso es el accidente, y la esencia es la de carne de Cristo).

No fue esta la unica jugarreta que le monto Cavalieri. Tambien le reventó el negocio del tiro parabólico, que Galileo enseñaba durante una tanda de clases particulares para militares y gente interesada. Al cabo de los años sin publicarlo, Cavalieri, que estaba en el secreto, mando explicaciones del metodo a otros grupos y una carta de disculpa a Galileo diciendo que lo hacia dejando bien claro que el autor era Galileo y ante el temor de que si no se le daba publicidad, perderia la ventaja y algun otro matematico empezaria a montar una disputa de prioridades sobre quienlo habia descubierto. Y a la porra el negociete de los seminarios, claro.

La pildora del Doctor Mateo

Se menciona esta pildora en la entrada biografica de Isaac Barrow:

Memorandum, his pill (an opiate, possibly Matthews his pill), which he was wont to take in Turkey, which was wont to do him good; but he took it excessively at Mr Wilson’s, the saddler’s (near Suffolk House) where he was wont to lie and where he died, and ’twas the cause of his death. As he lay expiring in the agony of death, the standers-by could hear him say softly ‘I have seen the glories of the world.’

Suffolk House, si hay que creerse la historia completa, podria ser pues la zona de la estación de Charing Cross en Londres, o quizas algun lugar en las afueras de Cambridge.

La noticia es bastante rara: nos dice que se engancho en Turquia, bastante antes pues de obtener la Lucasian; y luego salta a decirnos que murio ahi en los cuartuchos de yonkies, como quien dice de sobredosis y gritando “¡las glorias del mundo!” Entre esos dos puntos de la historia estan sus publicaciones cientificas, su dimision repentina, su retirada al mundo de los sermones eclesiasticos con “prohibicion” de sus superiores de trabajar en matematicas o fisica, y su desaparicion total de la escena. Creo recordar que fue Newton quien examinó su biblioteca, a su muerte; en cierto modo no se le conoce otro discipulo.

¿Y de donde ha salido esta pildora, Matthews ‘s pill? Pues años despues de leer esto me lo volví a encontrar, en un estudio sobre alquimia.  El doctor Richard Matthew fue el autor, en 1660, de un panfletillo, “The Unlearned Alchymist his Antidote”, y vendia una pildorita de opio, en principio para hacer curas por sudor.  Segun los recetarios, era una mezcla de “opium, hellebore, and licorice… a previously digested mixture of oil of terebinth and salt of tartar”. Nos cuentan Newman y Principe que seguramente el doctor Mateo obtuvo la formula  ni mas ni menos que de George Starkey, alias “Ireneo Filaleteo”,  alias “Cosmopolita”, un alquimista norteamericano que durante un tiempo fue ayudante de Robert Boyle.

(Sí, el ultimo alquimista trabajó como ayudante del primer químico)

Starkey tenia formulas mas elaboradas para la preparación del opio, que vendía él mismo. Al parecer habia fabricado su primer compuesto de opio, con carbonato potasico, ya en 1651, y habia seguido trabajando en ellos de manera que la receta concreta que le vendio a Mateo le era de poca relevancia. Al menos eso declara él mismo, y tanto las fuentes contemporaneas (que conocen otras recetas suyas) como Newman y Principe le dan credibilidad. Recordemos que Paracelso habia ya preparado Laudano siglo y medio antes.

Starkey y Newton tambien debieron mantener algun contacto. En los papeles de Isaac Newton hay un ejemplar del Secrets Reveal’d, con bastantes anotaciones, y hay notas sueltas copiadas de recetas no publicadas de Starkey.  Parece que Sir Isaac estaba más interesado en reacciones que sustentaran la teoria corpuscular que en efectos medicinales, pero seria curioso encontrar alguna receta de opiaceos hecha de su puño y letra.